教學實踐中就函數奇偶性問題的探討

摘要：函數的奇偶性是函數的重要性質之一，也是每年高考的重點和熱點內容之一。它在代數，三角函數以及高等數學中有著廣泛的應用。

關鍵詞：函數；函數奇偶性

本文就奇偶性的若干性問題做一些探討，供教學研究做參考。

一、關于函數的奇偶性的定義

高中新教材定義如下：

（1）一般地，如果對于函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）=f（x），那么函數f（x）就稱偶函數；

（2）一般地，如果對于函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那么函數就稱奇函數f（x）；

定義說明：

上述定義可等價地敘述為：對于函數f（x）的定義域內任意一個x：

（1）f（-x）=f（x） f（x）是偶函數；（2）f（-x）=-f（x） f（x） 奇函數；

理解定義是應用概念的前提，在教學中應注意引導學生認識以下兩點：

（1）定義中要求“對于函數f（x）的定義域內任意一個f（-x）±f（x）=0，都有”成立，可見f（-x）必有意義，即-x也屬于f（x）的定義域，即自變量x的取值要保持任意性。于是有，奇（偶）函數的定義域是一個對稱數集（在數軸上表示為關于原點對稱的點集）。

（2）定義中的等式f（-x）=-f（x）（或f（-x）=f（x））是定義域上的恒等式，而不是對部分x成立。

二、函數的奇偶性的幾個性質

（1）對稱性：奇（偶）函數的定義域關于原點對稱；

（2）整體性：奇偶性是函數的整體性質，對定義域內任意一個x都必須成立；

（3）可逆性：f（-x）=f（x） f（x）是偶函數；

f（-x）=-f（x） f（x）奇函數；

（4）等價性：f（-x）= f（x） f（-x）- f（x）=0；f（-x）= -f（x）

f（-x）+ f（x）=0

（5）奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于軸對稱；

（6）可分性：根據函數奇偶性可將函數分類為四類：奇函數、偶函數、既是奇函數又是偶函數、非奇非偶函數。

三、函數的奇偶性的判斷

判斷函數的奇偶性大致有下列兩種方法：

第一種方法：利用奇、偶函數的定義，主要考查f（-x）是否與-f（x）、f（x）相等，判斷步驟如下：

①、 定義域是否關于原點對稱；②、數量關系f（-x）=±f（x）哪個成立；

（ ①、②分別是函數具有奇偶性的兩個必要條件，若兩個條件同時成立，聯袂作用，使成為充要條件。）具體步驟如下：

若定義域不對稱，則為非奇非偶函數；若定義域對稱，則有成為奇（偶）函數的可能，到底怎樣，取決于數量關系f（-x）=±f（x）怎樣成立？若f（-x）=f（x）成立，則為偶函數；若f（-x）=-f（x）成立，則為奇函數；若f（-x）=±f（x）成立，則為既是奇函數也是偶函數；若f（-x）=±f（x）都不成立，則為非奇非偶函數。

第二種方法：利用一些已知函數的奇偶性及下列準則（前提條件為兩個函數的定義域交集不為空集）：兩個奇函數的代數和是奇函數；兩個偶函數的和是偶函數；兩個奇函數的積為偶函數；兩個偶函數的積為偶函數；奇函數與偶函數的積是奇函數。

四、關于函數的奇偶性的幾個命題的判定。

命題1 函數的定義域關于原點對稱，是函數為奇函數或偶函數的必要不充分條件。

此命題正確。如果函數的定義域不關于原點對稱，那么函數一定是非奇非偶函數，這一點可以由奇偶性定義直接得出。

命題2 兩個奇函數的和或差仍是奇函數；兩個偶函數的和或差仍是偶函數。

此命題錯誤。一方面，如果這兩個函數的定義域的交集是空集，那么它們的和或差沒有定義；另一方面，兩個奇函數的差或兩個偶函數的差可能既是奇函數又是偶函數，如，可以看出函數與都是定義域上的函數，它們的差只在區間上有定義且，而在此區間上函數既是奇函數又是偶函數。

五、關于函數按奇偶性的分類

由前面可知，全體實函數可按奇偶性分為四類：①奇偶數、②偶函數、③既是奇函數也是偶函數、④非奇非偶函數。

六、關于奇偶函數的圖像特征

一般地：奇函數的圖像關于原點對稱，反過來，如果一個函數的圖像關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；偶函數的圖像關于y軸對稱，反過來，如果一個函數的圖像關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數。

由圖像特征得出結論：奇函數對稱區間上的單調性相同，偶函數對稱區間上的單調性相反。（證略）

七、關于函數奇偶性的簡單應用

函數的奇偶性是函數的重要性質之一，也是每年高考的重點和熱點內容之一，利用函數的奇偶性可求函數值、比較大小，求函數的解析式，討論函數的單調性，求參數的值等。現分別說明如下：1、利用奇偶性求函數值；2、利用奇偶性比較大小；3、利用奇偶性求解析式；4、利用奇偶性討論函數的單調性；5、利用奇偶性求參數的值。

（作者單位：河南省寶豐縣第一高級中學）