圓錐曲線的易錯類型題剖析

圓錐曲線是高中數學的重點內容，也是高考命題的一個熱點.圓錐曲線題目涉及的知識面廣，綜合性強，在解題過程中稍有疏忽就會出現錯誤.下面以雙曲線為例將最常見的錯誤解法舉例說明，并進行錯因剖析.

一、在涉及直線與圓錐曲線位置關系時，忽略聯立后所得方程的判別式的情況.

1.中點弦問題使用“點差法”不注意直線存在的條件.

例1：已知雙曲線x-=1，問過點A（1，1）是否存在直線l，使l與雙曲線交于P，Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在求出直線l的方程，若不存在請說明理由.

錯解：設符合題意的直線l存在，并設P（x，y），Q（x，y），

x-=1x-=1？圯（x-x）（x+x）=（y-y）（y+y）.

由A（1，1）為PQ的中點，∴x+x=2，y+y=2，∴直線l的斜率k==2，

∴符合條件的l直線存在，其方程為：2x-y-1=0.

錯解分析：以上解法中忽略了直線的存在性，故必須結合題意進行驗證.

正解：在上述解題的基礎上，由y=2x-1x-=1得2x-4x+3=0，再由Δ=-8<0，故所求直線不存在.

點評：在運用“點差法”處理圓錐曲線中點弦的問題時，雖然這一方法簡單快捷，卻無法證明這條直線一定會與曲線相交，故必須進行驗證.

2.直線與圓錐曲線交點問題（或弦長問題）不注意直線的斜率存在與否和△的存在與否.

例2：已知雙曲線C：x-=1，過點P（1，1）作直線l，使得l與C有且僅有一個公共點，則滿足上述條件的直線l共有（ ）

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條

錯解：設直線l的方程為y-1=k（x-1），即y=kx-k+1，與x-=1聯立消去y，得

（4-k）x+（2k-2k）x-k+2k-5=0.

要直線l與C有且僅有一個公共點，必須△=（2k-2k）-4（4-k）（-k+2k-5）=0，解得k=. 故滿足條件的直線l只有一條，選A.

錯解分析：以上解法有三個問題，一是雙曲線與直線只有一個交點，除了利用△=0得出相切的一條外，還有與漸近線平行的直線也與雙曲線只有一個交點；二是利用△=0時，必須以一元二次方程的二次項系數不為零為前提；三是設直線點斜式時，還要考慮斜率不存在的情況.

正解：（1）若直線l的斜率不存在，即l：x=1，它與雙曲線的右支相切于頂點（1，0），故l：x=1滿足條件.

（2）若直線l的斜率存在，設直線l的方程為y-1=k（x-1），即y=kx-k+1，與x-=1聯立消去y，得（4-k）x+（2k-2k）x-k+2k-5=0.

①當4-k=0，即k=±2時，直線l平行于漸近線，與雙曲線也只有一個交點，故l：y=2x-1和y=-2x+3也滿足條件；

②當4-k≠0，即k≠±2時，由△=0得k=，故l：y=x-也滿足條件.

綜上所述，滿足條件的直線l共有四條，故應選D.

點評：在解題過程中，根據題型特征，優先考慮問題的某些方面，可以有效地防止錯解和漏解，分類討論是解決這個問題的關鍵.

二、求參數范圍時忽略一些隱含條件：諸如曲線上的點的坐標范圍、直線的斜率范圍、代數式本身的范圍等.

例3：已知雙曲線-=1（a>0，b>0）的離心率e=，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為，直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與該雙曲線交于不同兩點C、D，且C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上，求m的取值范圍.

錯解：由已知，有e=1+==

解之得：a=3，b=1

所以雙曲線方程為-y=1.

把直線y=kx+m代入雙曲線方程，并整理得：（1-3k）x-6kmx-3m-3=0

由題意得△=m+1-3k>0（1）

設CD中點為P（x，y），則AP⊥CD，且易知：

x=，y=

所以k==-

？圯3k=4m+1（2）

將（2）式代入（1）式得m-4m>0，

解得m>4或m<0.

故所求m的范圍是m∈（-∞，0）∪（4，+∞）.

錯解分析：上述錯解，在于在減元過程中，忽視了元素之間的制約關系，將k=代入（1）式時，m受k的制約.

正解：因為k>0所以m>-，故所求m的范圍應為m>4或-