把“根”鎖住

有這樣一類問題：已知一個含參方程（函數），它的根（零點）在區間（a，b）上，求其中參數的取值范圍.換言之，求出了參數的取值范圍，即可把方程的根（函數的零點）牢牢地鎖在區間（a，b）上，故我們把這類問題稱為“鎖根（零點）問題”.下面就來探討一下如何把方程的根（函數的零點）鎖住.

一、用f（a）·f（b）＜0鎖根

已知函數y=f（x）在區間［a，b］上是單調函數，且它的圖像是連續不斷的一條曲線，若函數y=f（x）在（a，b）內有零點，則f（a）·f（b）＜0.利用這個結論，我們可以在已知方程（函數）在區間（a，b）內有根（零點）的前提下，解不等式，求參數的取值范圍.

例1：若函數f（x）=ax-2（a≠0）的零點在區間（0，2）內，則實數a的取值范圍是 .

分析：無論a＜0還是a＞0，若函數在區間（0，2）上有零點，都會有f（0）·f（2）＜0，解此不等式，即得實數a的取值范圍.

解：依題意，可得f（0）·f（2）＜0，即-2（2a-2）＜0，即a-1＞0，解得a＞1.

所以，實數a的取值范圍是（1，+∞）.

解法秀：利用f（a）·f（b）＜0鎖零點，是建立在函數是單調函數的基礎上的，因為一次函數在區間（a，b）內一定是單調函數，所以直接利用f（a）·f（b）＜0鎖零點即可.

二、用函數性質鎖根

對于二次函數，這個我們比較熟悉的函數，可以借助它的對稱性、單調性、開口方向等性質鎖定其零點.

例2：已知函數f（x）=x+2x-m有兩個小于1的不同零點，求m的取值范圍.

分析：因為函數f（x）=x+2x-m圖像的對稱軸為直線x=-1，所以它的兩個小于1的零點應分別在（-∞，-1）和（-1，1）內，故只需利用f（a）·f（b）＜0鎖定較大的零點即可.

解：因為函數f（x）=x+2x-m圖像的對稱軸為直線x=-1，所以要使函數有兩個小于1的不同零點，只需f（-1）=-1-m＜0f（1）=3-m＞0，解得-1＜m＜3，即m的取值范圍是（-1，3）.

解法秀：兩個不同零點都小于某個數k，即兩個零點都在區間（-∞，k）內，只要鎖定了較大的零點，較小的零點也就被鎖在區間（-∞，k）上了.本題是利用函數與不等式鎖定方程的根問題，其中，函數的主要作用是提供圖像，直觀確定m應滿足的條件，不等式的主要作用就是求出m的取值范圍.一般地，鎖定二次函數的零點（方程的根）問題需考查以下三方面：根的判別式△、對稱軸、區間端點函數值的符號.對于某些鎖根問題，也可只考慮其中的兩方面或一方面.至于應該考查幾方面，觀察圖像便可一目了然.

三、用函數圖像鎖根

對于由基本初等函數構成的函數（方程），我們可借助相關函數的圖像鎖定其零點.

例3：若方程logx-=0（a＞0，且a≠1）的根在區間（0，1）內，則a的取值范圍是 .

分析：因本題中的函數不再是二次函數，顯然不能再用上面的方法解答，鑒于a的情況只有兩種：0＜a＜1，a＞1，故考慮借助函數圖像直觀確定.

解：如圖1，在同一坐標系中，分別作出函數y=、y=logx（0＜a＜1）、y=logx（a＞1）的圖像.觀察圖像，可得只有當0＜a＜1時，函數y=logx和y=的圖像的交點的橫坐標在區間（0，1）內，即方程logx-=0（a＞0，且a≠1）的根在區間（0，1）內.所以a的取值范圍是（0，1）.

解法秀：當函數的單調性不易判定時，我們不能貿然用f（a）·f（b）＜0鎖根，可借助函數圖像解答.