數列中的“鵲橋”

數列{a}的通項a與前n項和S的綜合問題，是數列中的一類熱點問題.解答此類問題，須在a與S之間架起一座“鵲橋”，使二者能互相轉化，能擔此重任者是關系式a=S，n=1S-S，n＞1，大凡a與S的綜合問題，都要用這個“鵲橋”公式解答，下面舉例說明.

一、已知S求a

例1：已知數列{a}的前n項和為S=2+n，求這個數列的通項公式.

分析：運用關系式a=S，n=1S-S，n＞1求解，不要忘記檢驗a.

解：因為S=2+n，所以當n＞1時，a=S-S=2+n-（2+n-1）=2+1.

又因為a=S=2+1=3，而2+1=2≠a，所以a不適合a=2+1.

所以a=3，n=12+n，n＞1.

評注：已知S，可用a與S的關系式a=S，n=1S-S，n＞1求a.求解時，一個常見錯誤就是忽視檢驗a是否適合求出的通項公式.要避免此類錯誤，同學們要牢記：a的“真值”是S，因為這個值是已知條件賦予的.若a的值不適合求出的通項公式，則需把通項公式分段表示.

二、已知a與S的關系式求S

例2：已知數列{a}的前n項和為S，a=2，S=（n+1）a（n∈N），求S.

分析：用a=S-S代換其中的a，從而消去a，進而可求S.

解：把a=S-S代入S=（n+1）a，得S=（n+1）（S-S），整理得=.

所以··…·=··…·=，所以=.

又因為S=a=2，所以S=n+1.

評注：已知a與S的關系式求S，只需用a=S-S代換其中的a，從而消去a，把關系式轉化為關于S的遞推式，即可求數列{S}的通項公式，這個通項公式即為S的表達式.

三、已知a與S的關系式求a

例3：已知數列{a}的前n項和為S，且滿足S=2a-2（n∈N），則a= .

分析：欲求a，需消去S，可根據S=2a-2再寫出一個式子S=2a-2，然后兩式作差，即可消去S，進而可求a.

解：因為S=2a-2①，所以S=2a-2（n＞1）②，①-②得a=2a-2a，即a=2a（n＞1），所以數列{a}是一個公比為2的等比數列，由S=a=2a-2，解得a=2.

所以a=2.

評注：已知a與S的關系式求a，只需寫出當n=n-1時的關系式，然后用條件式減此式，再運用關系式a=S，n=1S-S，n＞1消去S，進而求a.在此類問題中，雖然也有n＞1這一要求，但無需檢驗a.這是因為，由求解過程可知，a已經是這個等比數列的一項了，它一定適合這個通項公式.若上述求法不能奏效，則可先用例2的方法求S，再代入a與S的關系式求a.

四、轉化條件式

例4：設等比數列{a}的公比為q，前n項和為S，若S，S，S成等差數列，則q的值為 .

分析：S，S，S成等差數列，即S-S=S-S，把此式轉化為數列的項之間的關系式，即可求公比.

解：因為S，S，S成等差數列，所以S-S=S-S，所以-a=a+a，所以-2a=a，所以q==-2.

評注：本題若用等比數列的前n項和公式解答，不但十分繁瑣，還要就q=1和q≠1進行討論，而用a和S關系式解答，避免了小題大做，十分簡捷.