一元二次方程與二次函數(shù)的結(jié)合應(yīng)用

函數(shù)與方程是初中數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，它們的形式雖然不同，但本質(zhì)上是相互連接的，有密切關(guān)系.

一、一元二次方程與二次函數(shù)的比較

1.相同

（1）表達(dá)它們的都是式子：函數(shù)式、方程式、不等式；

（2）它們都含有類(lèi)似的代數(shù)式：ax+bx+c；

（3）它們的代數(shù)式都只含有一個(gè)未知數(shù)（一元）；

（4）它們的代數(shù)式中的未知數(shù)的最高次數(shù)都是二次.

2.區(qū)別

（1）二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式的概念范疇分別是函數(shù)、方程、不等式；

（2）二次函數(shù)中，代數(shù)式ax+bx+c等于因變量y；一元二次方程中，代數(shù)式ax+bx+c等于零；一元二次不等式中，代數(shù)式ax+bx+c大于或小于零；

（3）圖像：二次函數(shù)的圖像是一條曲線(xiàn)，即拋物線(xiàn)；一元二次方程的解是點(diǎn)：兩個(gè)點(diǎn)或一個(gè)點(diǎn)或無(wú)點(diǎn)；一元二次不等式的解集是線(xiàn)段或射線(xiàn).

3.聯(lián)系

（1）一元二次方程的知識(shí)是研究二次函數(shù)和一元二次不等式的基礎(chǔ)知識(shí).

（2）令二次函數(shù)y=ax+bx+c的y=0，則原式變?yōu)橐辉畏匠蘟x+bx+c=0，令一元二次不等式ax+bx+c>0的不等號(hào)變?yōu)榈忍?hào)，則原式變?yōu)橐辉畏匠蘟x+bx+c=0.

（3）二次函數(shù)y=ax+bx+c拋物線(xiàn)與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x、x（x

（拋物線(xiàn)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)相同的根；沒(méi)有交點(diǎn)，即方程無(wú)解.）一元二次不等式ax+bx+c>0，解集是：xx；對(duì)于ax+bx+c<0，解集是：x

二、一元二次方程與二次函數(shù)的結(jié)合應(yīng)用

1.配方法解方程與二次函數(shù)的應(yīng)用關(guān)系

解方程的四種方法中有一種是用配方法來(lái)解的.而在二次函數(shù)中，我們經(jīng)常要將一般形式y(tǒng)=ax+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）轉(zhuǎn)化成y=a（x-h）+k（a≠0）的樣式，這個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程實(shí)際上就是對(duì)其進(jìn)行配方，與方程配方相同.

例1：求二次函數(shù)y=-x+x+2的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

解析：可先將二次函數(shù)經(jīng)過(guò)配方，化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，則可直接寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

經(jīng)配方得：y=-（x-4x+4-4）+2=-（x-2）+3.

∴圖像的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）.

2.一元二次方程根的判別式與二次函數(shù)的結(jié)合應(yīng)用

在二次函數(shù)中，當(dāng)函數(shù)與x軸分別有兩個(gè)交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)和無(wú)交點(diǎn)時(shí)，該函數(shù)所對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的判別式分別是：△>0、△=0和△<0.而在一元二次方程中有以下結(jié)論：當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

例4：試說(shuō)明函數(shù)y=x-4x+5，無(wú)論x取何值，y>0.

分析：第一種方法：用配方法將其化成y=（x-2）+1的形式來(lái)說(shuō)明（但如果系數(shù)取值不好，該方法就比較麻煩）.

第二種方法：用△來(lái)說(shuō)明，因?yàn)椤?-4<0，所以函數(shù)與x軸無(wú)交點(diǎn)，又因?yàn)樵摵瘮?shù)的二次項(xiàng)系數(shù)a=1>0，所以圖像開(kāi)口向上.于是，圖像在x軸上方，因此無(wú)論x取何值，y>0.

3.一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系在函數(shù)中的應(yīng)用

例2：已知二次函數(shù)y=x+4x+k-1，

（1）若拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍；

（2）若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在x軸上，求k的取值.

[分析]此題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系來(lái)解，當(dāng)拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可利用b-4ac>0來(lái)確定k的取值范圍.當(dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在x軸上，說(shuō)明拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，可利用b-4ac=0來(lái)確定k的取值.

解：在一元二次方程x+4x+k-1=0中，

（1）△=4-4（k-1）=16-4k+4=20-4k>0

∴當(dāng)k<5時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

（2）△=20-4k=0

∴k=5時(shí)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在x軸上.

4.一元二次方程兩根與二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)關(guān)系

例4：若關(guān)于x的二次方程a（x-3）+b=0（a≠0）的一個(gè)根是1，求另一個(gè)根.

分析：該題按常規(guī)解法把x=1代入方程無(wú)法求出a、b值，感覺(jué)進(jìn)入胡同，只有化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)關(guān)系求另一根，但把二次函數(shù)與一元二次方程相結(jié)合可以使問(wèn)題更為簡(jiǎn)化.

解：設(shè)y=a（x-3）+b，則直線(xiàn)x=3是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.

∵點(diǎn)（1，0）是拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知（5，0）是拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn).

∴方程a（x-3）+b=0（a≠0）的另一個(gè)根是x=5.