一元二次方程與二次函數的結合應用

函數與方程是初中數學中兩個最基本的概念，它們的形式雖然不同，但本質上是相互連接的，有密切關系.

一、一元二次方程與二次函數的比較

1.相同

（1）表達它們的都是式子：函數式、方程式、不等式；

（2）它們都含有類似的代數式：ax+bx+c；

（3）它們的代數式都只含有一個未知數（一元）；

（4）它們的代數式中的未知數的最高次數都是二次.

2.區別

（1）二次函數、一元二次方程、一元二次不等式的概念范疇分別是函數、方程、不等式；

（2）二次函數中，代數式ax+bx+c等于因變量y；一元二次方程中，代數式ax+bx+c等于零；一元二次不等式中，代數式ax+bx+c大于或小于零；

（3）圖像：二次函數的圖像是一條曲線，即拋物線；一元二次方程的解是點：兩個點或一個點或無點；一元二次不等式的解集是線段或射線.

3.聯系

（1）一元二次方程的知識是研究二次函數和一元二次不等式的基礎知識.

（2）令二次函數y=ax+bx+c的y=0，則原式變為一元二次方程ax+bx+c=0，令一元二次不等式ax+bx+c>0的不等號變為等號，則原式變為一元二次方程ax+bx+c=0.

（3）二次函數y=ax+bx+c拋物線與x軸的兩交點的橫坐標x、x（x

（拋物線與x軸有一個交點，即方程有兩個相同的根；沒有交點，即方程無解.）一元二次不等式ax+bx+c>0，解集是：xx；對于ax+bx+c<0，解集是：x

二、一元二次方程與二次函數的結合應用

1.配方法解方程與二次函數的應用關系

解方程的四種方法中有一種是用配方法來解的.而在二次函數中，我們經常要將一般形式y=ax+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）轉化成y=a（x-h）+k（a≠0）的樣式，這個轉化過程實際上就是對其進行配方，與方程配方相同.

例1：求二次函數y=-x+x+2的對稱軸和頂點坐標.

解析：可先將二次函數經過配方，化為頂點坐標式，則可直接寫出對稱軸和頂點坐標.

經配方得：y=-（x-4x+4-4）+2=-（x-2）+3.

∴圖像的對稱軸是直線x=2，頂點坐標為（2，3）.

2.一元二次方程根的判別式與二次函數的結合應用

在二次函數中，當函數與x軸分別有兩個交點、一個交點和無交點時，該函數所對應的一元二次方程根的判別式分別是：△>0、△=0和△<0.而在一元二次方程中有以下結論：當△>0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△<0時，方程無實數根.

例4：試說明函數y=x-4x+5，無論x取何值，y>0.

分析：第一種方法：用配方法將其化成y=（x-2）+1的形式來說明（但如果系數取值不好，該方法就比較麻煩）.

第二種方法：用△來說明，因為△=-4<0，所以函數與x軸無交點，又因為該函數的二次項系數a=1>0，所以圖像開口向上.于是，圖像在x軸上方，因此無論x取何值，y>0.

3.一元二次方程中根與系數的關系在函數中的應用

例2：已知二次函數y=x+4x+k-1，

（1）若拋物線與x軸有兩個不同的交點，求k的取值范圍；

（2）若拋物線的頂點在x軸上，求k的取值.

[分析]此題的關鍵是利用二次函數與一元二次方程的關系來解，當拋物線與x軸有兩個不同的交點，可利用b-4ac>0來確定k的取值范圍.當拋物線的頂點在x軸上，說明拋物線與x軸只有一個交點，可利用b-4ac=0來確定k的取值.

解：在一元二次方程x+4x+k-1=0中，

（1）△=4-4（k-1）=16-4k+4=20-4k>0

∴當k<5時，拋物線與x軸有兩個不同的交點.

（2）△=20-4k=0

∴k=5時，拋物線的頂點在x軸上.

4.一元二次方程兩根與二次函數與x軸交點關系

例4：若關于x的二次方程a（x-3）+b=0（a≠0）的一個根是1，求另一個根.

分析：該題按常規解法把x=1代入方程無法求出a、b值，感覺進入胡同，只有化簡利用根與系數關系求另一根，但把二次函數與一元二次方程相結合可以使問題更為簡化.

解：設y=a（x-3）+b，則直線x=3是拋物線的對稱軸.

∵點（1，0）是拋物線與x軸的一個交點，由對稱性可知（5，0）是拋物線與x軸的另一個交點.

∴方程a（x-3）+b=0（a≠0）的另一個根是x=5.