利用微分方程求冪級數的和函數

摘 要： 本文介紹一種利用微分方程來求冪級數的和函數的方法，具體思路是先對所給的冪級數逐項求導，再通過觀察構造出一個含有和函數的微分方程，解出這個微分方程，從而求得冪級數的和函數.

關鍵詞： 微分方程 冪級數 和函數 逐項求導

對于比較簡單的冪級數，如、（n+1）x等，可以通過先逐項求導或逐項積分把它轉化為等比級數，再借助于等比級數的和的公式來求得其和函數.可是當級數比較復雜時，利用這種方法就很難直接求得冪級數的和函數了.這里介紹一種利用微分方程來求冪級數的和函數的方法，具體思路是先逐項求導，再通過觀察構造出一個含有和函數的微分方程，解這個微分方程來求得冪級數的和函數.

下面來看具體的問題.

例1：求冪級數，x∈（-∞，+∞）的和函數.

解：設s（x）=

逐項求導得：

s′（x）=x=4x

=4[xx+4x]

=4xs（x）+16xe

整理得s′（x）-4xs（x）=16xe

這是一個關于s（x）的一階線性非齊次微分方程，利用常數變易法可求得其通解為：

s（x）=（4x+C）e

注意到s（0）=1，得C=1，

于是s（x）=（4x+1）e=4xe+e.

例2：求冪級數（-1）（|x|≤1）的和函數.

解：設s（x）=（-1）（|x|≤1），

則xs（x）=（-1）

于是[xs（x）]′=s（x）+xs′（x）

=（-1）

=2（-1）+2（-1）

=2（arctanx-x）+2s（x）

整理得s′（x）-s（x）=2（-1）

這是一個關于s（x）的一階線性非齊次微分方程，利用常數變易法可求得其通解為：

s（x）=-2arctanx-xln（1+x）+C

注意到s（0）=0，得C=0，

所以，所求冪級數的和函數s（x）=-2arctanx-xln（1+x）.

例3：求冪級數++...++...，x∈（-∞，+∞）的和函數.

解1：設s（x）=++...++...，x∈（-∞，+∞）

顯然，s（x）=x[++...++...]

變形得=++...++...

再對這個新的級數逐項求導得：

[]′=1+++...++...

由此有：[]′+=e，這樣就得到了一個關于函數的一階線性微分方程.

用常數變易法可求得=（e+C）e，

即s（x）=x（e+C）e=x（e+Ce）.

注意到s（0）=0，從而求出C=-.

所以，所求冪級數的和函數s（x）=x（e-e）.

解2：設s（x）=++...++...，

顯然，s（x）=x[++...++...]

變形得=++...++...

再對這個新的級數逐項求導得：

[]′=1+++...++...，再逐項求導得：

[]″=x+++...++...

從而有[]″+[]′=e，這是一個關于函數的二階常系數線性非齊次微分方程.

很容易求得它對應的齊次微分方程的通解為=C+Ce；并且可以看出，e是這個二階常系數線性非齊次微分方程的一個特解.

所以這個關于的二階常系數線性非齊次微分方程的通解是=C+Ce+e，即s（x）=xC+（Ce+e）.

注意到s′（0）=0、s″（0）=2，就可求得C=0，C=-.

從而所求冪級數的和函數s（x）=x（e-e）.

這里主要是充分地利用了級數的逐項求導，通過觀察從而得到一個含有和函數的微分方程，希望讀者能從中得到一些啟發.總之，只要善于觀察，求冪級數的和函數就不是那么難解決的問題了.

參考文獻：

[1]姜淑蓮，朱雙榮.應用數學[M].武漢：華中科技大學出版社，2010.

[2]韓新社.高等數學[M].中國科學技術大學出版社，2006.