語義真值在謂詞邏輯中的運用

2012-04-29 00:00:00唐曉陽蔡愛國

群文天地 2012年6期

摘要：討論了謂詞邏輯的語義真值情況，闡明了邏輯學中數學函數概念的引入，探討了量詞二次函數概念的產生，得到了三條定理：謂詞表達的語義真值是函數；函數具有延展性，如果函數f和函數g有著相同的延展，那么f=g；謂詞表達是一次函數，自變量為物體輸出真值；真值連接函數為一次函數，自變量為真值輸出真值；量詞為二次函數，自變量為真值函數輸出真值。

關鍵詞：語義真值；謂詞邏輯；函數

語義真值在謂詞邏輯中的運用是弗雷格的一個重大發現，他成功的把數學中的函數概念引入到邏輯中，從而使得許多問題迎刃而解。本文就數學函數是如何引入到邏輯學中的，以及如何形成真值連接函數等問題進行了探討，并研究了與其相關的定理。

1．純數學角度的函數（function）

試舉一個簡單的函數“y=3x”，那么這里y就是x的函數。當x取不同的自然數時候，我們也會得到不同的y。這里的x我們就稱之為函數的自變量。所以自變量是1，得到3；自變量是2，得到6；自變量是3，得到9......我們可以把這個函數表達成下面這種形式：

{（0，0），（1，3），（2，6）（3，9），（4，12），（5，15）.......}

我們把這種形式稱之為函數的延展。y=x可以稱之為“一個自變量的函數”，當然也可以有“兩個自變量的函數”，如：z=x+y。這里有兩個自變量，要得到函數的結果就必須同時給x，y分別一個自然數，運用上面的形式可以表達成

{（0，0，0），（1，0，1），（1，1，2），（2，1，3），（2，2，4）.....}

回顧一下函數的整個運作過程，例如“y=3x”，那么當我們取x為1的時候，1*3=3，所以y=3.當我們取x為2的時候，2*3=6，所以y=6.依次類推3*3（y=9），4*3（y=12）。我們可以看出這種表達實際上就是“y=3（）”，然后我們把一個個自然數添入到（）里面去。這就是未知數x的本質意義，x可以代表任何自然數，相當于一個（），而為了方便數學運算，我們引入了x這個符號代表這一意義。這樣，當我們不給x取值的時候，整個函數就沒有辦法輸出結果。而當寫下“y=3x”的時候，本質上還是“y=3（）”。這里x沒有任何的輸入，所以在弗雷格的觀點中，函數是不飽和或者不完整。與此相對的，特有名詞和陳述句子是飽和的。這里我們就解釋了弗雷格眼中的數學函數概念，下面解釋如何用這一觀點來看連接詞。

2．連接詞（connective）

考慮下面一個陳述連接詞，否定“-”，如果給這個陳述連接詞加上一個“p”，變成“-p”那么當“p”為真的時候“-p”就為假，“p”為假的時候，“-p”就為真。那么我們可以把此表達成：

- {（T，F），（F，T）}

這樣就變成了一個擁有有限延展的函數，自變量是真值，輸出結果也是真值。像這種輸出和輸入結果都是真值的函數我們稱之為真值連接函數，同理利用邏輯真值知識，我們可以寫出其余陳述表達詞的函數延展。

{（F，F，F），(F，T，F)，(T，F，F)，(T，T，T)}

V {(F，F，F)，(F，T，T)，(T，F，T)，(T，T，T)}

P→Q {(F，F，T)，(F，T，T)，(T，F，F)，(T，T，T)}

P?Q {（F，F，T），(F，T，F)，(T，F，F)，(T，T，T)}

這里討論了用函數的觀點來看連接詞，下面討論謂詞的語義真值和函數在其中發揮的作用。

3．謂詞和量詞（predicate and quantifier）

首先讓我們考慮下面一個表達：

① .....是偶數

通過上面數學函數的知識，我們發現這個表達不飽和，有一個空缺的地方等待數值的添入，我們隨意填進去幾個數字

② 2是偶數

③ 3 是偶數

④ 4 是偶數

很明顯，“2是偶數”和“4是偶數”是正確的，也就是說語義真值為真。“3是偶數”是錯誤的，也就是說語義真值為假。那么順著這個思路，我們用函數延展形式來表達①

{（0，T），(1，F)，（2，T），（3，F），(4，T)，(5，T)......}

所以①可以看成是一個函數，自變量是自然數，得出的結果是真值。

同樣的我們可以再舉一個例子

⑤ .......是圓的

那么用同樣的表述方式可以將此寫成：

{（網球，T），（足球，T），（籃球，T），（保齡球，T），（書桌，F）}

那么我們可以看出，⑤也是一個函數，自變量是生活中物體，輸出結果是真值。一般來說謂詞邏輯總是一個自變量為物體，輸出結果為真值的函數。弗雷格把函數的輸出結果總是真值的函數稱之為真值函數（concept）。

這里，我們發現一個謂詞表達中起到決定真值決定作用的是函數，那么得到定理1:

定理1：謂詞表達的語義真值是函數

又因為我們知道函數是延展性的，并且結合陳述邏輯中的定理“替換一個復雜表達其中一部分表達成另外一個具有相同語義真值的表達，該復雜表達的語義真值保持不變”.我們可以得出定理2:

定理2：函數具有延展性：如果函數f和函數g有著相同的延展，那么f=g

這樣我們就得到了謂詞邏輯的兩條公式。下面讓我們看謂詞邏輯中比較特殊的量詞。首先讓我們看一個全稱量詞的情況。首先確定全稱量詞的范圍.

{李白，杜甫，老子，孔子}

然后是謂詞表達:

⑥ 所有人都是中國人

用函數語言來表達就是： x：所有人；Gx:.....是中國人。所以⑥就表達成（ x）Gx。這里就出現了兩個函數，先選一個人物帶入其中試試看。取值“x=李白”，很明顯李白是中國人，所以Gx語義真值為T。到了這一步沒有辦法進行下去，因為 x是所有的人，而這里只討論了李白的情況，所以接下來把全稱量詞范圍中剩余人名寫出來，很明顯其余情況Gx也是T。那么所有的x得到的Gx都是真， x的語義真值也是真。讓我們把 x用函數延展表達出來：{（TTTT，T）}，這里的函數是多對一的情況。

上述過程可以看出，全稱量詞表達也是一個函數，但是它是第二步計算的函數。必須把其它函數的真值全部算出來才能考慮全稱量詞的函數。同理，一個存在量詞表達也是第二步計算的函數。弗雷格把量詞表達稱之為二次函數，二次函數的自變量為真值函數（concept）。現在回過頭來看（ x）Gx這個函數，我們可以先列出高等級的二次函數形式，把一次函數看成自變量。于是得到：

（ x）（）

那么如果 x要為真，那么 x的所有自變量都必須要為真。而我們又知道 x的自變量是真值函數Gx，列出Gx的函數延展形式：

{（李白，T），（杜甫，T），（老子，T），（孔子，T）}

那么這里Gx中所有自變量輸出值都是T，因此 x的所有自變量都是T。因為 x的所有自變量都是T，所以 x為T。這樣就利用了二次函數的概念，重新解釋了一下該命題。下面讓我們把命題做一個小小改動，來看一下存在量詞。

存在量詞取值范圍：{李白，杜甫，孔子，愛迪生}，表達如下：

⑦ 有些人是中國人。

同樣我們可以表達成（ x）Gx。那么（ x）（）為真的條件就是存在自變量為真的情況。下面列出Gx的函數延展。

{（李白，T），（杜甫，T），（老子，T），（愛迪生，F）}

盡管Gx的輸出結果有一個F，但是它滿足了 x的自變量至少有一個為真的情況，所以 x的語義真值為真。

通過學習這些最基本的函數在邏輯中的運用。便可歸納成定理3：

定理3：謂詞表達是一次函數，自變量為物體輸出真值；真值連接函數為一次函數，自變量為真值輸出真值；量詞為二次函數，自變量為真值函數輸出真值。

了解了語義真值在謂詞邏輯中的運用，如能結合語義真值在陳述邏輯中的運用，便可對語義真值這一概念有一個較為全面的認識。