逆散射理論淺析

摘 要：反問題可以解決正問題無法解決的實際生活問題，它的研究是數學物理中一個較新的研究領域。逆散射問題是反問題中常見的，本文對逆散射問題的類型、分類、算法、應用做了綜述。逆散射理論在界面奇性反演、大擾動深度成像等方面具有廣闊的應用前景。

關鍵詞：反問題 逆散射問題 類型 算法 應用

中圖分類號：P631.4 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2012）10（a）-0211-01

在數學物理問題中，通常研究的是一些正問題，即根據數學物理方程以及解所滿足的相應初始邊值條件，求解滿足相應條件的解。然而在實際生活中，我們通常遇到正問題無法解決的情況，在此提出反問題。所謂反問題是根據已知初始邊值條件和可觀測到場中的某些信息，來求解場源結構性質的數學物理問題，它是數學物理中一個較新的研究領域，在石油勘探、聲納和雷達等領域有廣泛的應用前景。

反問題中常見的是逆散射問題，所謂逆散射問題，即通過散射體外部場的探測來估計其內部結構信息。一般分為三種類型：（1）已知邊界條件時，重構散射物的形狀；（2）已知重構散射體的形狀，重構邊界條件；（3）已知邊界條件和散射物形狀，重構介質系數。逆散射問題至今尚無很好的完整的物理和數學模型。

1 逆散射問題的分類

在逆散射問題中，從介質性質和反散射物性上分為：（1）障礙逆散射問題；（2）介質逆散射問題。從信號源上又分為：（1）信號源為彈性波的逆散射問題，常見的彈性波為聲波；（2）信號源為電磁波的逆散射問題，通常重構散射體內部的機械結構（彈性系數或者聲速等）或者電磁結構（介電系數或者電導率等）。其中以聲波或電磁波為信號源的逆散射問題是我們常見的逆散射問題，這類逆問題通常已知入射波產生的散射場的近場數據或遠場數據，以及重構散射體的邊界條件，來確定散射體性態。在工程上逆散射問題廣泛應用于無損檢測，如地震波檢測以及地質勘探，生命科學中的醫學成像等實際問題。

根據采用近場數據還是遠場數據進行逆散射重構，逆散射問題可分為近場逆散射問題和遠場逆散射問題。遠場逆散射問題的解決方法有：1995年，Colton和Kirsch提出的線性抽樣方法，此方法解決了之前重構方法計算量大，對重構物體需要預知信息較多的局限性問題，被應用到醫學方面進行對白血球探測，此外探針法，點源法等方法。近場逆散射問題的解決方法有：運用線性抽樣方法，通過混合互易遠離，找到遠場算子和近場算子之間的關系，利用近場數據重構散射體。近場逆散射問題有很多研究成果，2005年，潘文峰等人利用近場數據確定了阻抗散射體的形狀；2008年董和平和馬富明等利用近場數據在半平面中重構非均勻介質散射體。在實際應用中，近場數據比遠場數據更容易得到，所以近場逆散射問題應用更廣泛。

2 逆散射理論的方法

逆散射問題是不適定問題，解也是不唯一的，故常對逆散射問題的原問題進行優化處理或正則化處理之后解決。雖然Helmholtz方程或者Maxwell方程組是解決逆散射的常用方法，并且目前還有很多方法可以解決逆散射問題，但是逆散射問題所具有的不唯一和非線性特性使求解逆散射問題的難度遠遠高于正散射問題。近些年來，解決逆散射問題常用的算法有線性和非線性兩類。相對線性算法，非線性算法考慮到了多次的散射結果，可以得到比較精確的重構物體的幾何和物理特性，但是由于計算機能力的限制，在處理大規模重構物體的問題上，線性算法更加常用。針對不同條件的逆散射問題，又有很多不同的解決方法。

對于電磁逆散射問題，常用積分方程用點匹配法或向量法求解散射場，即通過Born迭代法來近似特定的散射體參數，從而達到近似重構散射體的目的。然而在實際操作中，由于測量數據不全面，只能在特定的空間或者頻率中得到，再加上逆散射問題的不適定性，所以離散方程常常是病態的。求解這樣的病態方程，一般需要進行正則化，一般常見的正則化方法有Tikhonov方法、譜方法、迭代方法。在實際應用中，常見的是Tikhonov方法，然而這種方法也是不穩定的，通常和其共軛梯度法或小二乘法結合使用，來提高數據的擬合程度，其中Tikhonov方法與截斷完全最小二乘方法結合的正則方法可以解決不適定性較強的情況而通過與LU分解方法結合，則能在電磁逆散射問題中有效的提高散射體成像的分辨率。此外，在逆散射問題中，對逆散射物體的參數進行有效的估計，可以提高逆散射問題的精度和迭代速度。

3 逆散射理論的應用

（1）逆散射理論應用于深度成像。基于逆散射理論的成像技術，考慮了逆散射序列中的高階項，可以實現橫向速度變換情況下的疊前深度成像。

（2）逆散射理論應用于奇性反演。運用逆散序列法，可以進行界面奇性成像，在今后有很好的應用前景。

4 結語

（1）聲學和電磁學的散射和逆散射理論是數學物理中的一個重要研究領域。

（2）逆散射理論在地球物理、生命科學、遙感技術以及材料科學等眾多領域有廣泛應用。

（3）逆散射問題是用由散射波包含的信息來獲得介質的一些性質，如位置、形狀、內部結構等，分為障礙反散射問題和介質反散射問題兩大類。

（4）到目前為止在逆散射理論研究過程中，利用遠場數據恢復散射體模型居多，利用近場數據研究逆散射問題的文章卻很少。

參考文獻

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