軸壓開口圓柱薄殼屈曲分析與試驗

張展智 趙國偉 黃 海 黃承靜

(北京航空航天大學 宇航學院，北京100191)

開口圓柱薄殼結構在航空航天以及其他領域中有著廣泛的應用，如DODGE衛星的重力梯度桿、Apollo-15中使用的伸展臂、哈勃望遠鏡的太陽電池帆板支撐桿等，均采用了以開口圓柱薄殼結構為基本構型的伸展機構(STEM，Storable Tubular Extendable Member)［1－3］.在這類應用中，開口圓柱薄殼結構通常只能使用鈹青銅材料(QBe2)或碳纖維復合材料(CFRP)，且往往處于兩端固支的條件下并需要承受軸向壓力的作用，而較大的長徑比和徑厚比使其容易發生屈曲而導致結構失效，因此，軸壓開口圓柱薄殼在兩端固支條件下的穩定性是值得工程人員關注的重要問題之一.

針對圓柱殼體受軸壓作用時的穩定性，已經形成了諸多理論，如非線性跳躍理論、缺陷理論、初始后屈曲理論、邊界層理論等［4－8］.但是，由于開口情況下沿殼體軸向的兩條邊完全自由，因此很難得到其屈曲載荷的閉合解，這很大程度限制了開口圓柱薄殼的穩定性研究.參考文獻［9］最先采用數值方法求解了小撓度假設下的殼體屈曲方程，得到了軸壓開口圓柱薄殼的屈曲載荷.此后，文獻［10］又采用大撓度假設對該問題進行求解.文獻［11］對扇角θ為82°的開口圓柱薄殼進行軸向壓縮試驗，得到了小撓度假設下的數值解更接近真實屈曲載荷的結論.文獻［12］將上述理論方法推廣至正交各項異性層合殼，同時考慮了軸向壓力、剪力、彎矩的共同作用.文獻［13］通過Galerkin方法求解屈曲基本方程，建立了扇角θ≥180°的軸壓開口圓柱薄殼的屈曲載荷模型.計算機的發展為求解屈曲問題提供了很大的便利，使得特征值屈曲分析和非線性屈曲分析更加方便快捷，近年來的殼體穩定性研究也開始廣泛地借助ANSYS、ABAQUS等商用分析軟件，如 Magnucki和Wilde等學者在對三邊簡支的軸壓開口圓柱殼進行屈曲應力計算與數值仿真的過程中即使用了商用有限元分析軟件，并得到了可供工程應用參考的結論［14－15］.

本文采用特征值屈曲分析方法來研究各向同性材料的開口圓柱薄殼在兩端固支條件下受軸壓作用時的穩定性問題，并通過對分析值的擬合給出計算軸壓開口圓柱薄殼屈曲載荷的模型，最后采用試驗的方法來驗證模型的精度.

1 開口圓柱薄殼結構

在空間伸展機構等應用中，開口圓柱薄殼構件往往受到軸向壓力P的作用，用來描述開口圓柱殼的幾何參數包括長度L、曲率半徑R、厚度t、以及扇角θ，如圖1所示.

圖1 薄殼示意圖

應用于空間伸展機構的開口圓柱薄殼結構，其常用的材料包括鈹青銅(QBe2)、碳纖維復合材料(CFRP)等.本文僅考慮各向同性材料，因此選擇鈹青銅作為開口圓柱薄殼的材料.鈹青銅經過熱處理工藝后具有良好的彈性、強度和硬度，而且耐疲勞、耐腐蝕、耐低溫、無磁性.鈹青銅的主要材料參數值如表1所示.

表1 鈹青銅的材料參數

2 特征值屈曲分析

2.1 基礎理論

設薄殼結構在載荷狀態P0下滿足:

式中，Ke為結構的彈性剛度矩陣;u0為結構在P0作用下產生的位移.

假設位移足夠小，則在任意狀態下的增量平衡方程為

式中，Kσ(σ)是應力狀態σ下的應力剛度矩陣.式(2)表達了結構內的應力狀態對結構凈剛度的增強或削弱效應.

設加載行為是載荷P0的線性函數，即

不考慮任何非線性情況，則有

式中σ0為載荷P0狀態下結構內部的應力.于是，增量平衡方程變為

當結構發生屈曲時，在ΔP=0的情況下仍然會產生位移增量Δu≠0，即

方程(6)代表了線性屈曲的特征值問題，λ被稱為特征值或載荷因子，它的最小值與初始載荷P0的乘積即為結構的屈曲載荷.

2.2 特征值屈曲載荷的有限元求解

應用有限元軟件ANSYS建立開口圓柱薄殼的有限元模型，如圖2所示.模型包括兩部分:作為分析對象主體的薄殼和對薄殼進行固定的緊固圈.其中，薄殼部分使用彈性殼單元SHELL63，兩端的緊固圈使用三維結構實體單元SOLID45.

由于結構的形狀較為簡單，因此在劃分單元時采用正交型網格，即薄殼部分為四邊形單元，緊固圈部分為六面體單元.由于單元在橫截面上是以多邊形來逼近圓周，因此周向上應劃分足夠多的單元，一般整個圓周上應不少于72個.另外，為了保證單元具有良好的形狀，單元的長短邊的長度之比應小于3∶1.

圖2 薄殼有限元模型

在設置單元材料參數方面，薄殼部分采用表1中QBe2的材料參數值，緊固圈部分則采用鋼材或鋁材的材料參數均可.

對有限元模型的一端施加總和為1 N的均布載荷，且加載端節點只具有軸向平動自由度;而模型另一端節點的6個自由度則被完全約束.

在特征值屈曲分析過程中，首先要進行靜力學求解來獲得結構載荷與位移之間的線性關系，然后再進行特征值屈曲求解，提取特征值與屈曲模態.需要注意的是，在進行靜力學求解時必須激活預應力效應.

3 屈曲載荷模型的推導

3.1 模型基本形式

根據文獻［13］的結論，可以得到軸壓開口圓柱薄殼在兩端簡支情況下的屈曲載荷模型為

式中，屈曲載荷PCR，彈性模量E，厚度t，扇角θ的單位分別為 N，Pa，mm，(°).從式(7)可以看出，該模型中不包含薄殼長度L和曲率半徑R兩項，即認為軸壓開口圓柱薄殼的屈曲載荷與薄殼長度和曲率半徑無關，而這與實際情況是不相符的.

本文的研究中采用單變量擬合的方法，設置幾何參數單獨變化的序列，并逐一進行特征值屈曲分析，用冪函數對每個序列的分析值進行擬合，以此來推導軸壓開口圓柱薄殼在兩端固支條件下的屈曲載荷模型.

首先，參考文獻［13］的模型，設各向同性材料的開口圓柱薄殼在兩端固支條件下受軸壓作用時的特征值屈曲載荷分析值PEV與薄殼幾何參數之間的關系滿足:

式中，α 為待定系數;a，b，c，d 分別為薄殼長度、曲率半徑、厚度和扇角項對應的指數.即式(8)中共包含5個需要確定的參數.

3.2 模型推導過程

模型推導的過程即是確定式(8)中5個未知參數的過程.首先通過單變量擬合的方法分別研究PEV隨開口圓柱薄殼各幾何參數的變化趨勢，即確定a，b，c，d的值;再通過求解平均值的方法確定系數α的值.

為了研究PEV與薄殼長度L的關系，設定薄殼的曲率半徑和厚度為R=15 mm，t=0.2 mm，設置薄殼扇角分別為 θ=120°，θ=180°和 θ=240°的3個長度序列，對長度L在60～360 mm之間的開口圓柱薄殼進行特征值屈曲分析，并使用冪函數對分析值進行擬合，如圖3所示.從圖3中可以看出，當 θ=240°時，屈曲載荷 PEV與 L－0.2成正比;當 θ=180°時，大多數分析值滿足 PEV與 L－0.2成正比，但在L=300～330 mm之間曲線出現了轉折點;當θ=120°時，在L=120 mm附近即出現轉折點，此后屈曲載荷PEV與L－1.5成正比.由此可知，轉折點的位置不僅僅與薄殼長度L有關，還需考慮其他幾何參數.在轉折點之前，式(8)中長度項L 的指數 a=－0.2，轉折點之后 a=－1.5.

圖3 PEV-L曲線(R=15 mm，t=0.2 mm)

設定薄殼厚度為t=0.2 mm、扇角為θ=240°，設置L=60mm，L=180mm和L=300mm 3個曲率半徑序列來分別進行特征值屈曲分析，并對分析值進行擬合，如圖4所示.由圖4可見，薄殼長度越大，轉折點對應的曲率半徑越大.在轉折點之前，PEV與R2.4成正比，即式(8)中曲率半徑項R的指數 b=2.4;在轉折點之后，PEV與 R0.1成正比，即 b=0.1.

設定薄殼的曲率半徑 R=15 mm、厚度 t=0.2 mm，設置 L=60 mm，L=180 mm 和 L=300 mm 3個扇角序列來研究特征值屈曲載荷PEV與薄殼扇角θ的關系，如圖5所示.從圖5中可以看出，薄殼的長度越大，轉折點對應的扇角也越大.在轉折點之前，屈曲載荷PEV與θ3.5成正比，即式(8)中扇角項θ的指數c=3.5，在轉折點之后，PEV與θ成正比，即c=1.

圖4 PEV-R 曲線(t=0.2 mm，θ=240°)

圖5 PEV-θ曲線(R=15 mm，t=0.2 mm)

薄殼特征值屈曲載荷PEV與薄殼厚度之間的關系較為獨立.設定 L=180 mm，R=15 mm，θ=240°，對不同厚度的殼體進行特征值屈曲分析，并對分析值進行擬合，如圖6所示.由圖6可見，特征值屈曲載荷PEV與t2成正比，即式(8)中厚度項t的指數d=2.

圖6 PEV-t曲線(L=180 mm，R=15 mm，θ=240°)

根據轉折點處薄殼長度L、曲率半徑R和扇角θ之間的關系，定義轉折點判定參量為

式中，x，y分別為曲率半徑R和扇角θ的指數，其值待定.在轉折點處，Z=Z0，Z0即為轉折點的判定閾值.

于是，式(8)可以按照判定參量Z與閾值Z0的關系表達成一個分段函數:

式中，α1，α2為對應兩種情況下的待定系數，從已有的數據來看，α1與α2在各自情況下都是基本保持一致的.因此，根據已有的薄殼幾何參數值與屈曲載荷分析值，便可求出α1和α2的平均值為:α1=5.0×10－9，α2=3.2×10－14.再根據函數的連續性，可以求得 x=1.8，y=1.9，Z0=1.0×10－4.

于是，建立各向同性材料的開口圓柱薄殼在兩端固支條件下受軸壓作用時的屈曲載荷模型(BLOOM，Buckling Load of Open cylindrical thin shells Model)為

式中，Z=L/(R1.8θ1.9)，為判定參量;其中長度 L，曲率半徑R的單位為mm.

4 軸向壓縮試驗

4.1 試件與試驗設備

為了驗證特征值屈曲分析以及屈曲載荷模型的準確性，對9組不同幾何參數的開口圓柱薄殼按每組5個試件的規模進行了軸向壓縮試驗.

45個鈹青銅開口圓柱薄殼試件均采用手工制作.首先對鈹青銅帶材進行790℃下保溫8 min的固溶處理，淬火后對其進行剪裁與成型工藝，之后再進行320℃下保溫2 h的時效處理.經過上述工藝后，所獲得試件的圓柱度公差在毫米量級，彈性模量略低于表1中所列的數值.加工完成的9組試件如圖7所示，其幾何參數如表2所示.

圖7 壓縮試驗試件

表2 試件幾何參數

壓縮試驗使用REGER RGM-3100型電子萬能試驗機，其靜態載荷測量精度為示值的±1%.首先將試件的兩端用喉箍和墊片箍緊，再通過特制的夾具將其安裝于試驗機的壓頭與平臺之間，如圖8所示.

圖8 試件安裝示意圖

試驗機與一臺計算機相連接，由計算機控制試驗過程以及采集處理試驗數據.進行壓縮試驗時，以20mm/min的加載速度對試件緩慢加載，由于屈曲是在瞬間發生的，而計算機采樣頻率的限制使其很難采集到屈曲載荷的峰值，因此也會使試驗結果產生一定的誤差.

4.2 試驗結果及討論

以 L=180 mm，R=15 mm，t=0.2 mm，θ=120°的第6組第3號鈹青銅開口圓柱薄殼試件為例，試驗獲得的載荷-位移曲線如圖9所示，臨近屈曲時的試件形狀如圖10所示.圖11是使用有限元法進行特征值屈曲分析時所得到的屈曲模態圖.將圖10與圖11進行比較可以發現，試件臨近屈曲時的形狀與分析得到的屈曲模態較為相似，但屈曲模態中的撓度更為顯著.

圖9 試驗載荷-位移曲線

圖10 臨近屈曲時的試件形狀

圖11 屈曲模態示意圖

將軸向壓縮試驗得到的開口圓柱薄殼屈曲載荷試驗結果與特征值屈曲分析結果和屈曲載荷模型計算結果進行比較，如表3所示.其中，相對誤差的計算均以各組試驗的平均值作為真值.

表3 試驗結果與分析結果、計算結果的比較

由表3中試驗結果可見，試驗值的分布往往較為離散，標準差較大.其主要原因在于，試件在加工和安裝階段所產生的形位公差，以及淬火時冷卻不均產生的材料缺陷，都會導致同組試件的屈曲載荷有所不同.

由表3中特征值屈曲分析結果可見，除第2組和第6組外，軸壓開口圓柱薄殼在兩端固支條件下的特征值屈曲分析值與試驗平均值較為接近，所有分析值均在(±3σ)范圍內.

由表3中BLOOM計算結果可見，計算值與特征值屈曲分析值較為接近，擬合情況較好.與試驗均值相比，Z≤1.0×10－4時 BLOOM 的計算誤差在±10%以內，Z＞1.0×10－4時的計算誤差較大，最大為21%.

5 結論

本文通過對各向同性材料的開口圓柱薄殼在兩端固支條件下受軸壓作用時的一系列分析與試驗研究，可以得到以下結論:

1)特征值屈曲分析結果與試驗均值基本一致，因此可以采用特征值屈曲分析方法來求解各向同性材料的開口圓柱薄殼在兩端固支條件下受軸壓作用時的屈曲載荷.

2)經過試驗驗證，使用單變量擬合方法所推導的屈曲載荷模型BLOOM適用于估算各向同性材料的開口圓柱薄殼在兩端固支條件下受軸壓作用時的屈曲載荷，計算值與試驗均值相比，最大誤差為21%.

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