建設基于Mathmatica的高等數學課程意義探析

姜學杰

（定西師范高等專科學校，甘肅 定西 743000）

信息社會不僅依賴信息技術，而且更多地依賴由數學產生的信息技術。社會各個領域需要更多的受過數學教育的專業技術人員，用數學的知識、思想和方法，科學、理性、精確地去處理各種信息，解決工作中的問題或操作信息技術設備。同時，高等數學的內容、思想、方法也是人類文化史上極其燦爛的一顆明珠，對推動科學發展和人類文明作出了巨大貢獻，對培養學生良好的思維品質、探索精神和科學精神有非常積極的作用，因而也是大學生文化素養中相當重要的一個組成部分。因此，高等數學教育不僅承擔著培養高技術人才的重擔，還承載著傳播數學文化、培養科學精神、理性精神的責任。但傳統的高等數學課程目標、內容和教學模式已顯得十分落后，與當前社會的發展不相適應，主要表現在以下幾個方面：課程目標定位狹隘；生源質量不斷下滑，學生基礎薄弱，學力不足；高等數學課時數明顯不足。

如何進行高職高專高等數學課程改革，激發學生的學習興趣，提高教學質量和學習效率，是每個數學教育工作者都應思考、探索的課題。筆者根據幾年來的教學實踐和探索，認為把Mathematica與高等數學有效地整合起來，在“必需、夠用”原則的指導下建立基于Mathematica的高等數學課程是一條重要途徑。

Mathematica是美國Wolfram公司開發的集數值計算、符號運算、圖形處理于一體的大型科學計算軟件，其強大、靈活的人機動態交互功能和圖形可視化功能為高等數學提供了一個經濟、高效的交互式教學平臺，尤其是其最新版本Mathematica8.0中文版更為學生提供了一個良好的實驗、探究的開放式學習平臺。同時，大量的CDF格式網絡課件和CDF格式高等數學電子教程等網絡資源為教師教研和學生自主學習提供了極大的便利。目前，許多高校只是把Mathematica用于做數學實驗和數學建模，并沒有把它與數學課程進行有效的整合，對這一軟件的認識、應用仍帶有很大的局限性，使得這一強大技術的教育功能、應用價值沒有得到很好的體現，對提高教學效率和教學質量沒有實質性的影響。突破這一局限，把Mathematica與高等數學進行有效的整合，建立基于Mathematica的高等數學課程，具有以下幾方面的意義：

一、改善教學環境，提高教學質量

傳統教材加粉筆的高等數學教學面向全體學生使用統一的講授式教學模式，呈現的是靜態的數學內容，缺乏直觀性與師生間的互動、交流，難以因材施教，要提高教學質量，還需要教師有良好的授課藝術，精心地設計、藝術地引導、耐心地講解和指導，也需要全體學生有較強的抽象思維能力和空間想象能力。教師即便使用PPT課件，也只是改變了教學內容的呈現方式，加大了授課密度，其弊端是直接呈現教學內容，缺乏教師的示范和引導作用，對提高學生的學習積極性和認知水平并無實質性幫助。

運用Mathematica則可以動態地演示數學概念的產生、形成過程，全方位地展現數學關系和數學原理，活化數學知識。其直觀性、可反復性和動態變化等特點不僅能吸引學生的注意力，營造輕松、互動的教學環境，也能在很大程度上降低學生的理解難度，為加速學生的認知過程、提升認知水平、提高教學質量提供有力保障。這種技術在微積分、向量代數與空間解析幾何、概率與統計等相關重要概念的教學中顯得特別重要。尤其在空間圖形、多元函數相關概念的教學中，可以通過參數的連續變化、拖動圖形旋轉等手段展示圖形全貌、對象的幾何特征和變化規律，教學效果更為顯著。

二、革新教學模式，增強主體意識

信息技術介入數學教育的一個突出優點就是人機交互、共同協商和主動參與。交互、協商意味著建立主體間合作伙伴關系，給學生提供更多的人機、師生、生生之間交流、對話的機會，以發現問題和澄清問題；建立教師主導、學生主動探究的互動型教學模式，變被動接受為主動建構，給學生提供更多的學習自主權和學習空間，以增強學生的主體意識和參與意識，培養學生的探索精神。

利用Mathematica的交互式筆記本界面，通過即時輸入與輸出、改變參數、調整程序等方式，可以多角度、多形式、反復地觀察、分析、探究數學概念或數學關系，建構數學模型。在這個過程中，教師有目的地引導學生參與數學知識的探究、實踐活動，改善學生的學習策略。同時，運用Mathematica進行數學實驗、探究，不僅是學生學習的需要，也是教師積累經驗、提升教學水平的需要，師生雙方共同參與，教學相長，因而師生雙方自覺地形成一個雙主體的數學學習共同體，特別是學生通過實踐性自主探究活動，能夠積極主動地投入數學學習當中，充分發揮其主觀能動作用，提高學習效率。

三、建構數學知識，提升認知水平

通過觀察動態演示、聆聽老師講解、相互交流和有目的的交互式自主探究活動，學生能夠不斷地積累經驗，逐步提高認識、加深理解，使得數學概念的圖式由模糊逐漸變為清晰，由抽象變為具體，從對數學對象的感覺、經驗上升到對概念本質的把握，形成自己的知識建構。

如微分是一個比較抽象的概念，學生理解它的含義有較大困難，弄不清楚它究竟是一個什么樣的量，與導數有什么樣的區別和聯系，具體有哪些用途。運用Mathematica的Manipulate命令對參數進行動態操控（圖1），便會在這種動態變化的過程中直觀地呈現出函數增量△y、導數f′(x)及自變量增量△x(dx)的幾何關系，以及△y、dy與參數△x之間的變化關系，從而理解為何導數f′(x)是dy與dx之商，為何微分dy是與dx等價的無窮小量，為何微分是函數增量的線性主部，為何△y與dy之差是一個較高階的無窮小。這樣，學生對微分的認識便從最初的經驗——實例中的“線性主部”逐步上升到一般函數中的“與△x等價的無窮小”，再到函數增量的線性表示，進而把握微分這一概念的實質。同時，繼極限概念之后進一步領會“以直代曲”這一微積分核心思想的意義和價值。

圖 1

圖2 正弦積分函數的11階麥克勞林展開式

再如初等函數展開成冪級數，傳統教學中學生只能掌握函數展開成冪級數的方法，至于為什么要這么做、冪級數的潛在意義何在卻不得而知。運用Mathematica的Manipulate和Plot命令，同時做出函數f(x)及用Normal命令去掉余項后所得的多項式Pn(x)（n次近似多項式）的圖像（圖2是正弦積分函數的11階麥克勞林展開式），對參數n動態操控并對兩者進行比較，就會發現n越大，近似多項式與原函數的圖像貼合程度就越高，從而了解冪級數的作用和“近似”的含義，明確了微分只不過是函數增量的最低級的近似，同時領會到用簡單的多項式函數近似其他復雜函數這一“以簡代繁”的思想是微積分又一重要的思想方法。

通過這種交互式操作過程中的觀察、比較、分析與探究，不僅容易形成知識建構，也容易使學生明確學習的意義和價值，使學習目標從理解概念、掌握方法上升到領會高等數學中的思想方法的高度，自覺地提升了學生的認知水平。

四、激發學習興趣，發展學生能力

運用Mathematica的可視化與動態交互功能，可以快捷地輸出計算結果，直觀地展示完整的圖形或真實圖形的局部結構；可以隨心所欲地構造圖形，表達自己的思想；能夠操控輸出結果，在無限變化中享受數學之美，提示數學規律，窺探數學奧秘。Mathematica為學生自主實驗、探究創造了條件，拓展了學習空間，提供了展示個人才能、實現自我價值的機會，同時，學生在體驗自主探索的過程中能夠感受成功的喜悅和自豪感。豐富的興趣因素和成功體驗是學生學習不竭的動力，是激發學習興趣、增強學習信心、活躍思維、增長智慧的源泉。運用Mathematica對知識的探究和建構過程，實質上也是一個不斷發現、創新的過程。一方面，在這個過程當中，學生試圖通過操控、實驗、建立模型等手段，用不同的方法，從不同的角度有目的地去觀察、發現各種對象間的數量關系，明確其幾何意義，把握概念的本質，而這種對數學概念的再認識與重構過程本身就蘊含著分析、推理、批判與創新等各種思維能力的訓練與培養。另一方面，由于興趣的驅動，學生能夠充分發揮其想象力，嘗試探索超越教材范圍的興趣領域，使創造性能力和運用信息技術解決問題的能力得到培養。

Mathematica運用于高等數學無疑是高等數學課程的一項重大革新，它有效地改善了教學環境，使數學課堂充滿生機，也深刻地改變著學生的學習方式和教師的授課方式，突顯學生學習的自主性，提高了學生的學習效率，發展了學生的能力，課程目標的實現有了有效保障。將信息技術運用于數學教學亦將成為數學課程改革的必然趨勢。

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