拓撲向量空間中的一類平衡問題研究

曹玉茹,鄭戟明

(上海對外貿易學院商務信息學院,上海 201620)

拓撲向量空間中的一類平衡問題研究

曹玉茹,鄭戟明

(上海對外貿易學院商務信息學院,上海 201620)

通過對偶的方法研究了拓撲向量空間上的一類平衡問題,并詳細的證明了平衡問題解的存在性結果,又利用集值映射的擬凸性討論了一類集值映射的平衡問題,并給出了詳細的證明過程,得到其平衡問題的解的存在性結果.

擬凸；對偶；緊凸基；擬平衡；拓撲線性空間

1 引言

平衡理論是非線性分析理論及其應用研究的重要組成部分.平衡理論在數理經濟學、運籌學、力學等方面都有著廣泛的應用.幾十年來,平衡問題的研究有了重要的發展.文獻[1]指出優化問題,非合作對策中的Nash平衡問題,相補問題以及不動點問題,變分不等式問題都是平衡問題的特例,并且討論了將其他問題的某些特征推廣到平衡問題中,近年來,關于擬平衡問題被提出并研究討論.雖然關于這方面的研究還不是很多,但卻推廣了早先的一些重要結果.

本文主要通過對偶的方法討論一類向量平衡和集值平衡問題.

2 預備工作

為了后文的需要,引進一些重要的定義和定理.

定義2.2[2](有限交性質)設{Fi}i∈I是Housdorff拓撲空間X的一個子集簇,I是指標集,若對任意有限集I0?I有

則稱{Fi}i∈I具有有限交性質.

定理2.2[2]拓撲空間X是緊集的充要條件是X中具有有限交性質的閉集簇{Fi}i∈I有非空的交.

3 拓撲空間中的一類向量平衡

在向量平衡問題的研究中,通常要先在拓撲空間中定義序關系.

設Z是一個實拓撲向量空間,P?Z是一個閉凸錐,用P來定義Z中的序關系:

定義3.1[4]設X和Y是兩個拓撲空間,T:X?Y是一個集值映射,T稱為在x∈X點上是上半連續的(u.s.c),若對任意包含T(x)的開子集V,都存在包含x點的開集U使得對每個t∈T,T(t)?V.若T在X的每一點都u.s.c,則稱T在X上是u.s.c；T稱為在x∈X點是下半連續的(l.s.c),若對任意y∈T(x)和包含y的開集V,都存在包含x點的開集U使得對每個t∈U,T(t)∩V/=Φ；若T在X的每一點都l.s.c,則稱T在X上是l.s.c；若T在X上既u.s.c又l.s.c,則稱T在X上是連續的.T稱為閉的,若

引理3.2[5]設X,Y是兩個Housdorff拓撲空間,T:X?Y是一個集值映射,則

(1)T是閉的充分必要條件是?網{xα},xα→x及網{yα},yα∈T(xα),yα→y都有y∈T(x).

(3)若T是u.s.c的且對每個x∈X,T(X)是閉集,則T是閉的.

下面給出本節的重要結果.

定理3.1設X,Z是實的局部凸Housdorff拓撲向量空間,K?X是緊凸子集,P?Z是閉的凸點錐,令P*有ω*緊凸基B；映射S:K?K是一個連續的集值映射,且對每個x∈K, S(x)是非空閉凸集.若映射g:K×K→Z是連續的且?x∈K,f(x,x)≥0,而f(x,x)關于第一變元凹,關于第二變元擬凸,則存在ˉx∈K,使?y∈K有f(ˉx,y)≥0.

證明首先用對偶的方法得到上式在K的緊子集S(x)上成立,再由引理3.4得到在整個K上成立.定義g:K×K→R如下:

4 拓撲向量空間中的一類集值平衡

本節主要是用集值映射的擬凸性來討論一類拓撲向量空間上的集值平衡問題.首先看下面的定義和引理.

再由K緊性及對任意i,G(xi)是閉的知G(xi)是緊集.從而由KKM-定理,得

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Study of equilibrium problem in topological space

Cao Yuru,Zheng Jiming

(Department of Tread Information,Shanghai Institute of Foreign Trade,Shanghai201620,China)

In this paper,both a class of vector value equilibrium by duality method,and a class of scale value equilibrium by method of quasi-convex are discussed,and proof are obtained in detail.

quasi-convex,duality,compact convex base,quasi-equilibrium,topological linear space

O177

A

1008-5513(2012)04-0440-06

2012-01-18.

085工程(知識創新)項目(08509008-02).

曹玉茹(1978-),博士,副教授,研究方向：凸分析與調和分析.

2010 MSC:47A62