三角級數在Burgers-KdV混合型方程中的應用

馬敏艷,吉飛宇,魚翔

(西北大學數學系,陜西西安 710127)

三角級數在Burgers-KdV混合型方程中的應用

馬敏艷,吉飛宇,魚翔

(西北大學數學系,陜西西安 710127)

利用三角級數法將Burgers-KdV混合型方程轉化為一組非線性代數方程,進而用待定系數法求解方程組,最后求出了Burgers-KdV混合型方程的精確解.

Burgers-KdV混合型方程；三角級數；精確解

1 引言

尋找非線性發展方程精確解的求解方法一直是數學家和物理學家研究的熱點問題,近年來,在構造非線性發展方程的精確解領域中涌現出許多有效的方法,如截斷展開法、齊次平衡法[12]、試探函數法[34]、F-展開法[5]、分離變量法、Jacobi橢圓函數法[6]、三角級數法、(G′/G)展開法[7]、Backlund變換法[8]、tanh函數展開法[9]等,并利用這些方法求解了許多非線性方程.Burgers-KdV方程的一般形式是:

其中,α,β分別代表耗散系數和色散系數.該方程是人們在研究內部含有氣泡的液體流動以及彈性管道中的液體流動等問題時提出的,文獻[10]對Burgers-KdV的行波解做了定性分析,但由于未能求得Burgers-KdV方程行波解的表達式,因而不能導得湍流的一些結構特征.文獻[1]通過分析Burgers方程和KdV方程的解的形式,采用類比的方法求得了Burgers-KdV方程的單調激波解的形式,并說明解是由沖擊波和孤立波組合而成的.大大促進了問題的解決.近年來Burgers-KdV方程作為湍流的規范方程以及解釋湍流機理并取得了很大的進展[1213].而且在實際工程中的某些問題也能用Burgers-KdV方程來描述.三角級數法[1415]對于求解非線性發展方程精確解方面顯得十分重要,本文利用正是利用三角級數法,成功得到了Burgers-KdV方程的精確解.

2 Burgers-KdV混合型方程

Burgers-KdV混合型方程:

其中A是積分常數.

3 用三角級數將Burgers-KdV混合型方程化為非線性代數方程組

設(4)式的解為如下形式的三角級數：

4 精確解的分析

第一組解和第四組解是平凡解,所以都舍去.接下來分析第二組解和第三組解,首先從(6)式求得w和ξ的關系式,(6)式等號兩邊同乘以-ksinkw,則有

對上式兩邊積分可得:

所得u2是虛解,沒有明顯的物理意義,所以u1是所求方程的精確解.

5 結論

本文通過利用三角級數法求得了Burgers-KdV混合方程的精確解,該方法將一個非線性偏微分方程化為一組易于求解的非線性代數方程,再利用待定系數法求解該代數方程組,所求得的精確解不能用其他方法獲得.本文方法對于求解其他非線性偏微分方程將發揮其重要作用,目前正在做進一步研究.

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Apply of trigonometric series in Burgers-KdV equation

Ma Minyan,Ji Feiyu,Yu Xiang

(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an710127,China)

The Burgers-KdV equation is changed into nonlinear algebraic equations based on the trigonometric series,and it can be solved by the method of undetermined coefficients and the Maple software.As a result,the exact solution to the Burgers-KdV equation is successfully derived.

Burgers-KdV equation,trigonometric series,exact solution

O175

A

1008-5513(2012)04-0559-05

2011-12-22.

國家自然科學基金(10671156).

馬敏艷(1986-),碩士生,研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35Q58