具外部擾動的變時滯不確定奇異系統的滑動模態控制

員陳鑫,蔣威

(安徽大學數學科學學院,安徽合肥 230601)

具外部擾動的變時滯不確定奇異系統的滑動模態控制

員陳鑫,蔣威

(安徽大學數學科學學院,安徽合肥 230601)

研究了含有多個變時滯的不確定奇異系統的滑動模態問題.該系統相比文獻中已研究的系統更為復雜,具有多個變時滯,且分別含有匹配和不匹配的外部擾動項.通過對系統進行等價分解化為兩個子系統,對分解后的系統進行切換函數的設計,再通過定義Lyapunov函數得到使得系統的滑模運動漸近穩定的充分條件.由此證明了所設計的滑模控制率能夠保證狀態軌跡在優先時間內被驅動到指定的切換面上且保持運動.設計過程簡單,且結果以線性矩陣不等式呈現,相比文獻中已有的結論更易于實現.最后通過例子驗證結論的正確性.

滑動模態；變時滯；奇異；lyapunov方程

1 引言

滑模控制(sliding mode control,SMC)也叫變結構控制,本質上是一類特殊的非線性控制,且非線性表現為控制的不連續性.這種控制策略與其他控制的不同之處在于系統的“結構”并不固定,而是可以在動態過程中,根據系統當前的狀態(如偏差及其各階導數等)有目的地不斷變化,迫使系統按照預定“滑動模態”的狀態軌跡運動.

1977年,文獻[1]開啟了控制系統學界對變結構系統(VSS)和滑模控制(SMC)的研究熱潮,國內的學者也針對不同特殊系統的滑動模態的控制問題進行了廣泛的研究[27].其中文獻[2]中利用Riccati方程對奇異系統研究了其滑動模態控制問題,文獻[3]中對帶有常數時滯和不確定項的系統研究了其滑模控制問題.但是對于含有多個變時滯以及同時含有匹配和非匹配不確定項的奇異系統的滑模控制的研究尚不多見.

本文考慮系統

2 預備知識

定義2.1[8]設在初始時刻t0時,系統的初始狀態為x0,時刻t時的狀態為xt.另外,設超平面s包含原點x=0.則此時對于任意在s之上的狀態x0,在t＞t0之后,都有xt存在于s之中.此時,xt就是系統的滑動模態或稱為滑模運動.

定義2.2[9]對于非線性控制系統

(1)滿足到達條件:切換面si(x)=0以外的相軌線將于有限時間內到達切換面；

(2)切換面是滑動模態區,且滑動運動漸近穩定,動態品質良好.

稱這樣的控制為變結構滑動模態控制.

3 主要引理

對于系統(1),做如下的假設:

因此系統(1)可以簡記為以下的形式:

引理3.1對于由狀態方程描述的連續線性定常系統˙x=Ax,其中A是n×n常量矩陣,則原點平衡狀態xe=0是大范圍漸近穩定的充分必要條件為:

對給定任一正定實對稱矩陣Y,李雅普諾夫方程XA+ATX=-Y有惟一正定實對稱矩陣解X0.

引理3.2若系統(3)滿足假設(1)-(3),則必然存在非退化矩陣P,Q,使得系統(3)等價于下面兩個子系統(4)(5):

4 綜合設計

通過上面的分析推理,可知系統(1)的滑動模態控制問題可以等價為系統(4),(5)的綜合設計問題.為了達到系統的滑模控制的目的,這里將系統的設計過程分成三步進行:一、首先設計系統的切換函數；二、設計變結構控制率,使得系統在有限的時間內到達切換平面進行運動；三、保證系統在滑模面上的運動是漸近穩定的.

第一步定義系統的切換函數為:

其中p是關于t的連續函數,且有p＞0.下面給出系統在有限時間達到滑模面并在其上運動的充分條件:

定理4.1若(13)式中的函數p滿足條件p≥‖M‖‖C2‖h(x(t),t)+η,其中η＞0,為常數,則系統(1)在有限時間達到滑模面并在其上實現滑模運動.

證明由(13)式可得:

非退化.取L=1,可由(13)得到可使系統漸近穩定的控制輸入為:

[1]Utkin V I.Variable structure systems with sliding modes[J].IEEE Trans.Automat.Contr.,1977,22:212-222.

[2]溫香彩,劉永靖.奇異不確定系統的滑動模態控制[J].控制理論與應用,1995,12(1):114-118.

[3]卜春霞,侯小麗,程桂芳.奇異不確定時滯系統的滑動模態控制[J].河南科學,2004,22(2):159-162.

[4]肖劍,梁家榮,樊仲光.線性滯后廣義系統的二階滑模控制方法[J].純粹數學與應用數學,2010,26(3):478-483.

[5]Gouaisbaut F,Dambrine M,Prichard J P.Robust control of delay systems:a sliding mode control design via LMI[J].Systems and Control Letters,2002,46:219-230.

[6]Yan X G,Spurgeon S K,Edwards C.On discontinuous static output feedback control for linear systems with nonlinear disturances[J].Systems and Control Letters,2009,58:314-319.

[7]Magdy M,Abdelhameed.Enhancement of sliding mode controller by fuzzy logic with application to robotic manipulators[J].Mechatronics,2005,15(4):439-458.

[8]田宏奇.滑模控制理論及其應用[M].武漢:武漢出版社,1995.

[9]高為炳.變結構控制理論基礎[M].北京:中國科學技術出版社,1990.

[10]鄭大鐘.線性系統理論[M].北京:清華大學出版社,2002.

Sliding mode control for uncertain time-delays singular system with external disturbances

Yuan Chenxin,Jiang Wei

(Department of Mathematics,Anhui University,Hefei230601,China)

This paper discusses the sliding mode control for uncertain time-delays singular system with external disturbances.The discussed system is more complicated than papers listed in the reference,for it has several delays,and both matching and mismatching external disturbances.Based on the transformation from the uncertain singular multi-delay-system to two subsystems,firstly we design the switching function such that system could be drift onto the sliding surface in limit time and maintains motion on it.After that we get the sufficient condition of asymptotic stabilization of sliding mode motion by defined the Lyapunov-function.The design process is simple and the result is given by form of LMI so that the realization is more easy than papers listed in the reference.At last we take a numerical example to demonstrate the correctness of the results.

sliding mode control,singular,time-delay,lyapunov function

O231.2

A

1008-5513(2012)04-0531-09

2012-04-09.

國家自然科學基金(11071001)；高校博士點專項科研基金(20093401110001)；

安徽省高校重大項目(KJ2010ZD02)；安徽省高校自籌經費項目(KJ2012Z338).

員陳鑫(1984-),碩士生,研究方向：泛函微分方程及控制論.

2010 MSC:93C23