推廣的()展開法與Zhiber-Shabat方程的精確解

陳曉艷,吉飛宇,魚翔

(西北大學數學系,陜西西安 710127)

陳曉艷,吉飛宇,魚翔

(西北大學數學系,陜西西安 710127)

利用推廣的()展開法,研究了Zhiber-Shabat方程的行波解,獲得了其各種孤子解和周期波解,并且給出了由它得來的著名方程Liouville方程的精確解,豐富了解的范圍.

推廣的()展開法；Zhiber-Shabat方程；Liouville方程；周期波解

1 引言

非線性演化方程Zhiber-Shabat方程在許多科學領域中有著重要的應用.由它演化得來的一些著名方程包括:當q=r=0時,方程(1)化為著名的Liouville方程；當q/=0,r=0時,方程(1)成為著名的Sinh-Gordon方程；當q=0,r/=0時,方程(1)變為著名的Dodd-Bullough-Mikhailov方程.這些方程在固體物理學,流體力學,生物數學和等離子物理學等學科中出現[12],例如Liouville方程是描述由系統的定態所構成的混合態隨時間演化的規律,包括光線量子和相對論費密子等[34].Sinh-Gordon方程是在正常曲率曲面的研究中引出的,若知道它的一個非平凡解,就可以得出R2,1中類時的正常曲率曲面[5].因此這些方程得到了充分研究及應用.

到目前為止,已有很多種方法用來求解Zhiber-Shabat方程.1992年,文獻[6]通過使方程(1)滿足投影Riccati方程組求出方程(1)的兩種精確解,后來,文獻[7]用tanh函數法與推廣的tanh函數法得到了方程(1)的多種行波解,文獻[8-10]又分別用指數函數法,sinh-cosh函數法,F展開法對方程(1)的解的情況進行了研究.最近由文獻[11]首次提出的()展開法,在研究非線性演化方程的孤子解方面,是一種方便快捷的方法,已用于求解了很多方程.

2 推廣的()展開法

步驟一:對于含有兩個獨立變量x,t的非線性演化方程:

其中αi是待定系數,N是由平衡(3)式中最高階導數項和非線性項得來的,G=G(ξ)滿足二階線性常微分方程:

步驟四:將得到的αi的值代入(4)式,利用(5)式的通解,經過分析即可以得到(2)式的精確解.

3 Zhiber-Shabat方程的行波解

令u(x,t)=u(ξ),ξ=x-ωt,ω為波速,將其代入(1)式,對(1)式進行行波約化得:

類似地,利用以上步驟還可得到著名方程Dodd-Bullough-Mikhailov方程和Sinh-Gordon方程的精確解[15].)

參考文獻

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[15]Chen A Y,Huang W T,Li J B.Qualitative behavior and exact travelling wave solutions of the Zhiber-Shabat equation[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2009,230:559-569.A(bs)tract:The exact traveling wave solutions of the Zhiber-Shabat equation are studied by using the extended-expansion method.Solitons and periodic solutions for it are formally derived,and then the exact traveling wave solutions of the related equations,such as Liouville equation also derived,which has enriched solutions of them.

Chen Xiaoyan,Ji Feiyu,Yu Xiang
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an710127,China)

extended()-expansion method,Zhiber-Shabat equation,Liouville equation, periodic wave solutions

O175

A

1008-5513(2012)04-0546-07

2011-12-22.

國家自然科學基金(10671156).

陳曉艷(1987-),碩士生,研究方向：非線性偏微分方程.

2010 MSC:35Q58,37K50