關于兩兩NQD序列部分和的完全收斂性

施建華,林影

(1.漳州師范學院數學與信息科學系,福建漳州 363000；2.上海財經大學統計與管理學院,上海 200433； 3.寧德師范學院數學系,福建寧德 352100)

關于兩兩NQD序列部分和的完全收斂性

施建華1,2,林影3

(1.漳州師范學院數學與信息科學系,福建漳州 363000；2.上海財經大學統計與管理學院,上海 200433； 3.寧德師范學院數學系,福建寧德 352100)

研究了兩兩NQD序列部分和完全收斂性的較一般形式,通過NQD序列的截尾方法,以及相關引理,在較寬泛的條件下,得到一類較為廣泛的完全收斂性的結果.

NQD序列；完全收斂性；緩變函數

1 引言及引理

完全收斂性是概率極限理論的一個重要研究內容,自1947年Hsu和Robbins提出完全收斂性概念以來,許多學者致力于這方面的研究.對獨立隨機變量的情形,完全收斂性已有了很深入的結果[1-3].與此同時,由于實際應用的需要,這一課題也轉向非獨立情形的研究,如兩兩NQD序列情形.

近年來,關于兩兩NQD序列完全收斂性的研究引起一些學者和研究人員的注意.文獻[4]指出了兩兩NQD列與獨立列的一個本質性區別,并提出了解決兩兩NQD列幾乎處處收斂和完全收斂的一種方式.文獻[5]進一步討論完全收斂性,取消了文獻[4]討論兩兩NQD列時的附加條件φ*(1)＜1,研究更為寬泛的包含兩兩NQD列的一類隨機變量序列的完全收斂性,在同分布的條件下,給出較兩兩NQD列部分和之最大值的更一般形式的完全收斂性的充要條件.文獻[6]在一定的條件下獲得了兩兩NQD序列的一般雙下標加權系數的加權部分和的Lp收斂性和完全收斂性.文獻[7]在h-可積的條件下,討論了關于兩兩NQD陣列加權和完全收斂性的兩個重要定理.

本文在類似于文獻[3,8]所示的較寬泛的相關條件下,討論兩兩NQD序列的完全收斂性,得到一類較為廣泛的結果.以下記C為正常數,并允許在不同的地方表示不同的值,X為隨機變量,同時令

2 主要結果及其證明

在討論完全收斂性的相關結論中,文獻[3,8]曾引入如下類型函數,這里做了一些改變.

假設函數φ(x)和H(x)皆為在[0,+∞)上有定義的正值單調函數,且H(x)↑∞,令H-1(x)為H(x)的反函數,

對ⅠⅠ,由條件(A),可得

從而(2.7)式成立.證畢.

由上述定理2.1可得到我們所熟知的一類完全收斂性結論,該結論是文獻[9]的結果在兩兩NQD序列下的推廣.

由緩變函數的性質,當αp∈[1,2)或αp∈[2,∞)時,φ(x)為單調正值函數,又H(x)在[0,+∞)上有定義,且H(x)↑∞.

下面一一驗證上述三個函數滿足定理2.1的條件.由緩變函數性質及分析學的知識、引理1.4,易得.

(A)存在常數c1,c2＞0,使得對任意n≥1,有

對ⅠⅠ,由已知條件,有

結合注2,即得推論2.4.

[1]白志東,蘇淳.關于獨立和的完全收斂性[J].中國科學:A輯,1985(5):399-412.

[2]Baum L E,Katz M.Convergence rates in the law of large numbers[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1965, 120(1):108-123.

[3]邵啟滿.關于獨立和完全收斂性的進一步探討[J].應用概率統計,1991,7(2):174-186.

[4]王岳寶,蘇淳,劉許國.關于兩兩NQD列的若干極限性質[J].應用數學學報,1998,21(3):404-414.

[5]張立新,王江峰.兩兩NQD列的完全收斂性的一個注記[J].高校應用數學學報:A輯,2004,19(2):203-208.

[6]吳永鋒.兩兩NQD列的Lp收斂性和完全收斂性[J].純粹數學與應用數學,2008,24(3):605-609.

[7]章茜,王文勝.h-可積條件下兩兩NQD陣列加權和的完全收斂性[J].吉林大學學報:理學版,2010,48(2):183-188.

[8]蘇淳,王岳寶.同分布NA序列的強收斂性[J].應用概率統計,1998,14(2):131-140.

[9]楊善朝.PA序列部分和的完全收斂性[J].應用概率統計,2001,17(2):197-202.

[10]林正炎,陸傳榮,蘇中根.概率極限理論基礎[M].北京:高等教育出版社,1999.

On the complete convergence of the partial sum with NQD sequences

Shi Jianhua1,2,Lin Ying3

(1.Department of Mathematics and Information Science,Zhangzhou Normal University, Zhangzhou363000,China 2.School of Statistics and Management,Shanghai University of Finance and Economics, Shanghai200433,China； 3.Department of Mathematics,Ningde Normal University,Ningde352100,China)

This article is concerned with the complete convergence for the partial sum of NQD sequences.By using several known lemmas and truncated method,two more general forms of complete convergence about NQD sequences are derived.

NQD random sequences,complete convergence,slow varying function

O211.4

A

1008-5513(2012)04-0483-10

2011-08-17.

福建省自然科學基金(2012J01028)；上海財經大學研究生科研創新基金(CXJJ-2012-423)；福建省教育廳資助科技項目(JA10204).

施建華(1977-),博士生,講師,研究方向：概率極限理論,應用統計學.

2010 MSC:60F15