一類拋物型偏微分方程的特征中心差分方法

朱泉涌,王全祥,付菊

(1.麗水學(xué)院理學(xué)院,浙江麗水 323000；2.南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇南京 210046)

一類拋物型偏微分方程的特征中心差分方法

朱泉涌1,2,王全祥2,付菊2

(1.麗水學(xué)院理學(xué)院,浙江麗水 323000；2.南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇南京 210046)

運(yùn)用特征中心差分方法來求解一類拋物型偏微分方程.通過對(duì)網(wǎng)格的不均勻剖分來離散方程，得到方程的特征中心差分格式.作了H1誤差估計(jì),給出了相應(yīng)的定理.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明該方法對(duì)解此類問題是高效穩(wěn)定的.

地下水污染模型；特征中心差分方法；誤差估計(jì)

1 引言

考慮下面的初邊值問題:

其中Ω=[0,l],?Ω表示Ω的邊界.C0(x),g1(x,t),v(x,t,C),D(x,t)為已知的光滑函數(shù),θ,b為常數(shù).方程(1)在地下水污染問題中有著廣泛的應(yīng)用,并有著深刻的物理背景[13],v為流體的速度,D為擴(kuò)散系數(shù),Cs為源的濃度,C表示地下水污染物的濃度.自從1988年MODFLOW-88問世以來,有關(guān)地下水流動(dòng)和地下水污染物運(yùn)移的數(shù)值模擬技術(shù)有了很大發(fā)展,為人們研究地下水工作帶來了許多便利.尤其在復(fù)雜的邊界條件情況下,因?yàn)椴淮嬖诶碚摻?數(shù)值模擬就成為研究地下水運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要手段.在目前被廣泛使用的幾個(gè)地下水模擬軟件中包含了用于模擬地下水中溶質(zhì)運(yùn)移的模塊MT3D,MT3D模塊中包含下列幾種算法:特征線法,改進(jìn)特征線法,混合特征線法,以及有限差分法等等.本文綜合文獻(xiàn)[4-5]特征線方法和中心差分方法,討論方程(1)的特征中心差分法.針對(duì)雙曲型方程的特征線性質(zhì),已有不少學(xué)者在對(duì)流擴(kuò)散的數(shù)值計(jì)算中構(gòu)造出不同的計(jì)算方法[610].1978年,文獻(xiàn)[6]提出了混雜分裂方法,把特征線與Crank-Nicolson格式相結(jié)合給出計(jì)算格式和數(shù)值結(jié)果.1982年,文獻(xiàn)[7]把特征線方法和有限差分法相結(jié)合,提出解對(duì)流擴(kuò)散問題的特征差分方法,網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)為均勻分布,求解區(qū)域?yàn)橹本€,討論了基于二次插值的特征差分格式.用特征線方法與有限差分方法相結(jié)合的算法來計(jì)算對(duì)流擴(kuò)散問題,本質(zhì)是基于雙曲型算子的特征線的某種插值和擴(kuò)散項(xiàng)的差分離散相結(jié)合,特征差分格式關(guān)鍵在插值方式的選擇,線性插值可避免數(shù)值振蕩,二次插值可減少數(shù)值耗散.1988年,文獻(xiàn)[8]提出解線性橢圓型和線性拋物型方程的塊中心差分法.文獻(xiàn)[9]討論了具有混合邊界條件的非線性對(duì)流擴(kuò)散方程的特征-塊中心差分方法,求解區(qū)域?yàn)榫匦?網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)為非均勻分布.隨后,文獻(xiàn)[10]則給出了可壓縮兩相驅(qū)動(dòng)問題的分?jǐn)?shù)步長(zhǎng)特征差分格式.文獻(xiàn)[11]采用中心差分格式解守恒型雙曲方程.本文在文獻(xiàn)[7]的離散方法的基礎(chǔ)上,構(gòu)造了問題(1)的特征中心差分法,得到了C的數(shù)值解,誤差為O(Δt+h2),數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明該方法具有較高的精確度.

2 網(wǎng)格函數(shù)空間

3 離散格式及誤差估計(jì)

由Taylor公式及引理5得:

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

考慮下面的非線性問題:

從表1可以看出,當(dāng)空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)選取合適的比例時(shí),得到的誤差及范數(shù)符合理論分析的結(jié)果,具有較高的精確度,并且隨著時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)的減小,誤差也得到了相應(yīng)的減小:當(dāng)空間步長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼?/2時(shí),最大絕對(duì)誤差,最大相對(duì)誤差,L2范數(shù)及H1范數(shù)都相應(yīng)地變?yōu)樵瓉淼?/4,這說明格式在空間方向?yàn)?階的.用這種方法還可以得到Cx的數(shù)值解,大大減少了計(jì)算量,且運(yùn)行時(shí)間短.下面給出不同時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)且t=0.5時(shí),用特征中心差分法得到的C的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差曲線.圖(a),(b)是h=0.01,Δt=0.0001時(shí)的絕對(duì)誤差圖與相對(duì)誤差圖.圖(c),(d)是h=0.1,Δt=0.01時(shí)的絕對(duì)誤差圖與相對(duì)誤差圖.圖(e)是h=0.5,Δt=0.25時(shí),隨lgh的變化圖象.

根據(jù)圖1,可以比較直觀地看出在不同空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)下,在各個(gè)節(jié)點(diǎn)處,方程的數(shù)值解與真解的逼近程度,圖(a)達(dá)到O(10-4),圖(b)達(dá)到O(10-2),精度都比較好,圖(a),圖(b)比圖(c),圖(d)的步長(zhǎng)要小,誤差也得到了相應(yīng)的減小.圖(e)的直線斜率基本為2,這說明格式在空間方向?yàn)?階的,這也是與理論分析一致的.因此,用特征中心差分法來解這類模型問題得到的解的精度較好,是有效的.

表1 t=0.5,且Δt=h2時(shí),不同剖分下,最大絕對(duì)誤差,最大相對(duì)誤差及范數(shù)的比較.

圖1 絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差及l(fā)g||-Cn||1隨lgh的變化圖象

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Characteristic centered difference method for a class of parabolic partial differential equations

Zhu Quanyong1,2,Wang Quanxiang2,Fu Ju2
(1.School of Science,Lishui University,Lishui323000,China； 2.School of Mathematical Science,Nanjing Normal University,Nanjing210046,China)

In this paper,we develop a new characteristic centered difference method for a class of parabolic partial differential equations.We adopt the non-uniform subdivision for the equation.Then the error estimates of H1-norm is obtained.At last,a numerical experiment is presented to illustrate that the accuracy of this method is higher,the scheme is effective,and the method is suitable for solving this problem.

the model of contaminant in groundwater flow,the characteristic centered difference method, the error estimate

O241

A

1008-5513(2012)04-0507-09

2012-04-01.

國家自然科學(xué)基金(11071123)；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目(CXLX12-0388,CXZZ12-0382).

朱泉涌(1981-),博士生,研究方向:偏微分方程數(shù)值解.

2010 MSC:35Q53