Banach空間范數的k-點態粗性和k-粗性

義德日胡,蘇雅拉圖

(內蒙古師范大學數學科學學院,內蒙古呼和浩特 010022)

Banach空間范數的k-點態粗性和k-粗性

義德日胡,蘇雅拉圖

(內蒙古師范大學數學科學學院,內蒙古呼和浩特 010022)

對Banach空間范數引入了k-點態粗和k-粗的概念,利用Banach空間理論的方法,給出了x∈S(X)為范數的k-粗糙點和X的范數是k-粗的一些充分必要條件,證明了(k+1)-粗糙點是k-粗糙點以及k-粗糙點與Frˊechet可微性的一些結果.特別地,在k=1的情形下蘊含了關于范數的粗糙點、點態粗范數和粗范數的相應結果.

k-粗糙點；k-點態粗；k-粗；k-粗指數；Banach空間

1 引言

Banach空間范數的可微性一直是Banach空間幾何學的主要研究對象之一.經過多年來的研究,人們對Banach空間范數的Frechet可微和Gateuax可微等性質已比較清楚.為了研究光滑性較差的Banach空間范數的性質,1972年文獻[1]中定義了Banach空間的粗范數,文獻[2]中引進了強粗范數的概念,文獻[3]中進一步研究了粗范數和強粗范數,而且這兩個概念對刻畫光滑性較差的Banach空間的性質起了很大的作用.文獻[4]引進了范數的粗糙點與點態粗的定義,并給出了范數的點態粗和粗范數的等價刻畫.此后,數學工作者對這幾種粗性進行了研究,得到了一些研究結果,如文獻[5-7]等.總而言之,粗性是Banach空間的重要幾何性質,它與范數的各種可微性質有密切的聯系,因此也得到了深入的研究,并對Banach空間幾何理論的發展起到了促進作用,但之后的相當一段時間內并未出現光滑性更差的Banach空間的研究.本文在文獻[4]的基礎上作為粗糙點、點態粗和粗的相應推廣引進了k-粗糙點、k-點態粗和k-粗的概念,并給出了x∈S(X)為范數的k-粗糙點和X的范數是k-粗的若干充要條件；證明了(k+1)-粗糙點是k-粗糙點；引進了k-粗指數的概念,并給出了它與k-粗糙點和k-點態粗的關系.

2 主要結論及其證明

證明證明類似于定理2.2的證明.

定理2.6Banach空間X的范數是(k+1)-粗的,則X的范數是k-粗的.

證明證明類似于定理2.3的證明.

定義2.6設X是Banach空間,命滿足定義2.3條件的非負數ε的上確界為x∈S(X)的k-粗指數,記為εk(x).

定理2.7設X是Banach空間,x∈S(X)為范數的k-粗糙點當且僅當εk(x)＞0.

證明必要性.因x∈S(X)是范數的k-粗糙點,故存在滿足定義2.3條件的非負數ε,從而εk(x)＞0.

充分性.因εk(x)＞0,故存在滿足定義2.3條件的非負數ε,即x∈S(X)是范數的k-粗糙點.

同理利用k-點態粗的定義得到如下定理.

定理2.8Banach空間X的范數為k-點態粗當且僅當?x∈S(X),有εk(x)＞0.

[1]Leach E B,Whitfield J H M.Differentiable functions and rough norms on Banach spaces[J].Proc.of the Amer.Math.Soc.,1972,33(1):120-126.

[2]John K,Zizler V.On rough norms on Banach spaces[J].Comment.Math.Univ.Carolinae,1978,19:335-349.

[3]Godini G.Rough and strongly rough norms on Banach spaces[J].Proc.of the Amer.Math.Soc.,1983,87:239-245.

[4]李小建.Banach空間范數的粗性與不可微性[J].數學年刊:A輯,1987,8A(5):621-625.

[5]黎永錦.Banach空間凸性和光滑性的若干問題[D].哈爾濱:哈爾濱工業大學圖書館,1992.

[6]丘京輝.關于粗范數的注記[J].蘇州大學學報:自然科學,1994,10(1):8-15.

[7]歐陽自根,羅李平.Banach空間范數的粗范數[J].長沙電力學院學報,1998,13(2):129-131.

[8]蘇雅拉圖,李廣利.關于k-極凸空間的幾點注記[J].數學雜志,2011,31(1):181-190.

k-pointwise roughness and k-roughness on Banach spaces

Yiderihu,Suyalatu

(Mathematics Science college,Inner Mongolia Normal University,Huhhot010022,China)

In this paper,the k-pointwise rough and k-rough norm on Banach space are introduced.By the method of Banach space theory,the some necessary and sufficient conditions of k-rough point of norm and krough norm of X are given respectively.We proved that(k+1)-rough point is k-rough point and obtained some results related with k-rough point and Frˊechet differentiability.In particular,when k=1 our results contains the results of about rough point of norm,pointwise rough norm and rough norm.

k-rough point,k-pointwise rough,k-rough,k-rough index,Banach space

O177.2

A

1008-5513(2012)04-0553-06

2012-02-16.

國家自然科學基金(11061022).

義德日胡(1987-),碩士生,研究方向：Banach空間理論.

2010 MSC:46B25