直覺三角模糊數(shù)距離及其在多屬性決策上的應(yīng)用

陳之寧，王 安，周存寶

(解放軍陸軍軍官學(xué)院，合肥 230031)

自從Zadeh于1965年提出模糊集理論以來，該理論已在現(xiàn)代社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。1986年保加利亞學(xué)者K.Atanassov［1］提出了直覺模糊集(intuitionistic fuzzy set)的概念。由于直覺模糊集同時(shí)考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度3方面信息，因此它能夠更加細(xì)膩地描述和刻畫客觀世界的模糊性本質(zhì)，使得在處理不確定信息時(shí)具有更強(qiáng)的表現(xiàn)能力，更符合人們的思維習(xí)慣。1989年K.Atanassov等［2］對(duì)直覺模糊集進(jìn)一步推廣，用區(qū)間數(shù)表示隸屬度和非隸屬度，提出了區(qū)間直覺模糊集的概念，定義了區(qū)間直覺模糊集的一些基本運(yùn)算法則。考慮到三角模糊數(shù)在表示“某個(gè)值左右”時(shí)有其獨(dú)特的優(yōu)勢，文獻(xiàn)［3］將直覺模糊集做了進(jìn)一步拓展，用三角模糊數(shù)表示隸屬度和非隸屬度，提出了直覺三角模糊數(shù)的概念。文獻(xiàn)［4-5］在直覺三角模糊數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則和算子等方面進(jìn)行了研究。

目前，有關(guān)直覺三角模糊數(shù)距離測度的研究較少。文獻(xiàn)［6］提出了一種距離公式，但通過分析可以發(fā)現(xiàn)其存在的一些不足。為此，本文從幾何角度出發(fā)，充分利用直覺三角模糊數(shù)的邊界信息，定義了一種新的計(jì)算直覺三角模糊數(shù)之間距離的公式。同時(shí)，本文還定義了直覺三角模糊數(shù)的相似度以及直覺三角模糊數(shù)向量之間的距離和相似度計(jì)算公式，豐富和完善了直覺三角模糊數(shù)理論。

1 直覺三角模糊數(shù)距離

定義1［3］設(shè)論域X是一個(gè)非空有限集合，稱為直覺三角模糊集，其中)和均是D=［0，1］上的三角模糊數(shù)，分別表示X中元素x屬于G的隸屬度和非隸屬度，并且滿足0≤c+q≤1，?x∈X。

定義2 對(duì)任意的直覺三角模糊數(shù)，若滿足下列性質(zhì):若，則且，則稱為直覺三角模糊數(shù)與的距離。

范傳強(qiáng)［6］給出了直覺三角模糊數(shù)距離的計(jì)算公式。

定義3 設(shè)直覺三角模糊數(shù)，則與之間的距離為

但只要對(duì)比下面直覺三角模糊數(shù)的距離就會(huì)發(fā)現(xiàn)上述距離公式存在的不足。令:

究其原因，從式(1)中可以看出，該公式實(shí)際上并未充分利用模糊信息，因此結(jié)果與實(shí)際有一定的出入。同理，在直覺模糊數(shù)和直覺區(qū)間模糊數(shù)適用的歐幾里得距離等距離測度在直覺三角模糊數(shù)中亦有同樣的問題。為更加準(zhǔn)確地衡量直覺三角模糊數(shù)之間的距離，本文充分利用模糊數(shù)的邊界信息，給出了新的計(jì)算直覺三角模糊數(shù)距離的公式。

定義4設(shè)直覺三角模糊數(shù)，有，稱

為方便表述，將式(2)簡記為

顯然，上述公式符合定義2中的4個(gè)條件。

有關(guān)上述公式的幾何含義，可參考圖2、3。

證明

證明完畢。

定義6 設(shè)，稱

定義7 設(shè)為 2 個(gè)任意 n 維直覺三角模糊數(shù)向量，其中，則直覺三角模糊數(shù)向量和之間的距離定義為

2 多屬性決策方法

基于距離測度的多屬性決策的基本思想是:計(jì)算模糊方案向量與理想解的距離，距離越小說明該方案與理想解越接近，反之亦然。設(shè)為決策方案集，C={C1，C2，…，Cn}為評(píng)價(jià)指標(biāo)(屬性)集，ω =(ω1，ω2，…，ωn)T為屬性的加權(quán)向量記 M={1，2，…，m}，N={1，2，…，n}，那么確定方案價(jià)值排序大小的決策步驟如下:

Step 1由專家給出方案 Ai在屬性 Cj下的評(píng)估值為直覺三角模糊數(shù))。評(píng)估值一般采用效益型指標(biāo)，若出現(xiàn)成本型指標(biāo)，則一般將成本型指標(biāo)換算成效益型指標(biāo)。作歸一化處理后得到直覺三角模糊數(shù)決策矩陣，其中為第 i個(gè)方案的決策向量。

Step 2對(duì)加權(quán)化為，其中

Step 3由確定出方案屬性的理想解，其中

Step 4根據(jù)式(6)計(jì)算各方案加權(quán)屬性值向量與模糊理想解的距離

Step 5按照值從小到大的排列順序，值最小的序號(hào)所對(duì)應(yīng)方案最佳。

3 案例分析

假設(shè)某軍方欲采購火炮裝配部隊(duì)，主要考慮3項(xiàng)指標(biāo):反應(yīng)能力(C1)、火炮突擊能力(C2)、機(jī)動(dòng)性及戰(zhàn)場環(huán)境適應(yīng)能力(C3)，此3種指標(biāo)均為效益型指標(biāo)，指標(biāo)權(quán)重向量為ω=(0.2，0.5，0.3)T。現(xiàn)有3種系列的火炮(方案)Ai(i=1，2，3)可供選擇，每種火炮指標(biāo)信息用直覺三角模糊數(shù)表示，如表1所示，那么采購部門應(yīng)如何選擇火炮?

表1 3種系列火炮的指標(biāo)信息

利用本文提出的模型，首先對(duì)根據(jù)專家決策信息得到的直覺三角模糊決策矩陣?A加權(quán)，并求出方案的理想解為

進(jìn)而利用式(6)得各方案與理想解的距離

所以最理想的方案是A1，即第1種火炮是最佳選擇。

4 結(jié)束語

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，提出了一種新的衡量直覺三角模糊數(shù)之間以及直覺三角模糊數(shù)向量之間距離和相似度的計(jì)算公式。分析表明，新的距離公式充分利用了模糊信息，能克服文獻(xiàn)［6］給出的距離公式存在的不足，使計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。最后，本文將直覺三角模糊數(shù)距離測度應(yīng)用到多屬性決策中，并用算例說明其可行性和實(shí)用性。

［1］Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986，20(1):87-96.

［2］Atanassov K，Gargov G.interval-valued intuitionistic fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1989，31(3):343-349.

［3］劉峰，袁學(xué)海.模糊數(shù)直覺模糊集［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2007，21(1):88-91.

［4］汪新凡.模糊數(shù)直覺模糊幾何集成算子及其再?zèng)Q策中的應(yīng)用［J］.控制與決策，2008，23(6):607-612.

［5］王安.兩個(gè)改進(jìn)的直覺三角模糊算子［J］.炮兵學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，31(5):102-104.

［6］范傳強(qiáng).模糊數(shù)直覺模糊集的距離［J］.遼寧石油化工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，30(2):85-88.