0-1動態(tài)數(shù)據(jù)的雙向差分的模型構(gòu)建

程毛林

（蘇州科技學院 數(shù)理學院，江蘇蘇州215009）

0 引言

事物的發(fā)展大體上可分為單調(diào)型和起伏型兩大類，單調(diào)型是指事物隨時間遞增或遞減，起伏型是指事物隨時間呈波動起伏。這兩種情況的動態(tài)數(shù)據(jù)預測有時采用灰色預測[1～2]，其變化規(guī)律可用微分方程來表示，其中含有未知參數(shù)，預測由微分方程的解進行。估計未知參數(shù)是建立模型預測的關(guān)鍵，由于實際觀測數(shù)據(jù)為離散的，我們將微分用差分來代替，這樣微分方程變?yōu)椴罘址匠蹋缓蟾鶕?jù)差分方程來估計參數(shù)[3～4]。顯然微分用差分來代替會產(chǎn)生誤差，如何減小誤差，是一項重要的課題。本文給出了兩種方法來減小誤差，首先差分分別用向前差分和向前差分來代替微分，讓前差和后差的誤差平方和最小[5～6]；其次對預測的殘差建立起伏型動態(tài)序列雙向差分模型[7～8]以作精度修正。在平常預測中，一般對原始序列直接進行預測，但對原始序列的狀態(tài)預測的研究和應用很少[9～10]，為此本文給出了0-1動態(tài)數(shù)據(jù)的雙向差分建模方法。當然首先要將觀測序列按某一標準轉(zhuǎn)為0～1動態(tài)數(shù)據(jù)，然后建模預測。文章最后對我國國內(nèi)生產(chǎn)總值指數(shù)變化狀態(tài)作出了很好的預測。

1 0-1動態(tài)數(shù)據(jù)的雙向差分建模方法

1.1 原始數(shù)據(jù)的0-1化處理

設(shè)原始序列為Y(0)={yt1,yt2,···,ytM}，其中xti為第ti年的數(shù)值，這里假定Y(0)為非負遞增型時間序列，ti為等間隔。序列均值

這里u為或人為標準。這樣得到0-1序列:

將Z(0)中“1”態(tài)出現(xiàn)的時間即“1”所對應的序號重新排列成一個新的時間序列：

1.2 雙向差分建模方法

設(shè)時間序列X(0)={xt1,xt2,···,xtN}

對X(0)進行一次、二次乃至n次累計計算，得生成序列：

這是連續(xù)型微分方程模型，下面關(guān)鍵是估計出b0,b1，為此需要進行離散化。這里設(shè)：

X(0)作一次累計（即l=1)，顯然x(1)t1=x0t1。

不失一般性，設(shè)時間序列為等間隔，Δt=ti+1-ti=1，由（1）式及差分和微分的關(guān)系得：

這里εt為誤差。

由數(shù)值計算知，差分有向后差分：Δbx(1)tk=x(1)tk-x(1)tk-1=b0+x(1)tkb1+εbtk向后差分:

這里εbtk為向后差分代替微分引起的誤差，εftk為向前差分代替微分引起的誤差。讓達最小，得關(guān)于b0和b1的正規(guī)方程組：

這里：

這樣得到雙向差分預測模型為

由估計x(1)tk，再用，還原得到原始序列，當：

k=N+1,N+2,···,N+q時可計算得到q步預測。

1.3 起伏型序列的建模

設(shè)Et={et1,et2,···,etN}為起伏型動態(tài)序列,無明顯趨勢。一般單調(diào)型動態(tài)序列的殘差為起伏型動態(tài)序列。若動態(tài)序列Et遵從微分方程：

則可用它的解對序列進行擬合和預測，上式解為：

式中ωk為可能的周期，如時間為1到T年，可能的周期為

下面估計ak,bk。式（3）中的微分用差分代替，同時考慮等間隔，有：

分別用向后差分和向前差分寫為：

式中：

2 我國國內(nèi)生產(chǎn)總值指數(shù)變化狀態(tài)的雙向差分建模

我國1996年到2010年國內(nèi)生產(chǎn)總值指數(shù)（上年=100，不變價）序列為：

Y(0)={110.0,109.3,107.8,107.6,108.4,108.3,109.1,110.0,110.1,111.3,112.7,114.2,109.6,109.1,110.3}

Z(0)={1,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,1}這樣X(0)={1,8,9,10,11,12,15}

顯然X(1)={ }1,9,18,28,39,51,66 為單調(diào)型動態(tài)序列，設(shè)滿足微分方程：

由本文給出的單調(diào)型動態(tài)序列的雙向差分模型建立方法，由（2）得:

這樣得到X(1)序列的雙向差分預測模型為:

表1 原始數(shù)據(jù)與預測結(jié)果

X(1)序列擬合值見表1，均方根誤差RMSE=0.2701，即平均相差0.2701天，平均絕對值相對誤差MAPE=[0.58%]，可以看出擬合精度高。為進一步提高精度，可對X(1)序列預測殘差后6項Et建立起伏型動態(tài)序列雙向差分模型。

Et=[0.0685,0.1719,0.1928,-0.0006,-0.5560,0.3608]

由于觀測數(shù)據(jù)是N=6為偶數(shù)，為了避免求解矩陣出現(xiàn)0行、0列 ，令：

設(shè)原始序列滿足微分方程：

由（5）式計算可得：

進而由（4）式寫得預測模型：

模型預測誤差見表1，可以看出誤差進一步縮小。

這樣得到X(1)序列最后的預測值。用，還原得到原始序列預測值，見表1。可以看出誤差極小，模型擬合效果很好。

[1] 傅立.灰色系統(tǒng)理論及其應用[M].北京：科學技術(shù)文獻出版社,1992.

[2] Yao Tianxiang，Liu Sifeng，Xie Naiming.On the Properties of Small Sample of GM(1,1)Model[J].Applied Mathematical Modelling，2009，33（4）.

[3] 劉思峰等.灰色系統(tǒng)理論及其應用[M].北京：科學出版社，2000.

[4] Guo Yifan,Deng Julong.The Influence of Variation of Modeling Data on Parameters of GM(1,1)Model[J].Journal of Grey System,2004,16(1).

[5] 王學萌等.灰色系統(tǒng)分析及實用計算機程序[M].武漢：華中科技大學出版社，2001.

[6] 董肇君等.系統(tǒng)工程與運籌學[M].北京：國防工業(yè)出版社，2003.

[7] 魏風英等.長期預測的數(shù)學模型及其應用[M].北京：氣象出版社，1990.

[8] 陳業(yè)華.灰色災變預測模型及其應用[J].北京：航空航天大學學報,1998,(1).

[9] 程毛林.不等間隔動態(tài)數(shù)據(jù)的差分建模[J].數(shù)學的實踐與認識,2003,(1).

[10] 蔣承儀.用雙向差分及階差鑒別法建立灰色預測模型[J].重慶建筑大學學報,1997,19(4).