基于同倫分析法的一類KdV－Burgers方程的近似解

朋群芳， 郭清偉

（合肥工業大學 數學學院，安徽 合肥 230009）

基于同倫分析法的一類KdV－Burgers方程的近似解

朋群芳， 郭清偉

（合肥工業大學 數學學院，安徽 合肥 230009）

同倫分析方法是解決非線性初值問題近似解的一種非常有效的方法。文章利用同倫分析方法求一類非線性KdV－Burgers方程的近似解，并將所得結果與已有方法所得結果進行比較。研究表明，同倫分析方法不僅計算簡單而且結果精確，故同倫分析方法是解非線性KdV－Burgers方程近似解的一種行之有效的方法。

KdV－Burgers方程；同倫分析法；近似解

非線性問題存在于許多科學領域，人們對于非線性問題的研究也越來越重視。近幾年來很多的方法用于解決非線性問題，如變分迭代法［1－3］、Adomian分解法［4－5］及同倫攝動法［6－7］等。廖世俊于1992年提出同倫分析法的基本思想，并用該方法處理非線性初值問題的近似解［8－9］。同倫分析方法是基于同倫理論的一種新的解析方法，它在方法上徹底拋棄了小參數假設，從根本上克服了傳統攝動法的局限性，在邏輯上包含了其他“非攝動方法”，從而更具一般性，該方法已被成功用于解決數學和工程技術中的許多非線性問題［10－16］。

本文將用同倫分析方法研究一類二次非線性KdV－Burgers方程的近似解，并把所得結果與用改進的Bernstein多項式方法［17］所得的二次非線性KdV－Burgers方程的近似解進行比較。KdVBurgers方程為：

其中，μ1、μ2和μ3均為常數。

1 同倫分析方法簡介

考慮以下一般形式的微分方程：其中，N為非線性算子；u（r，t）為關于r和t的未知函數；r和t為2個相對獨立的變量。為了簡單起見，忽略邊界值和初始條件，由同倫思想，文獻［18］得到的零階變形方程為：

其中，q∈（0，1）為嵌入參數；h為非零的輔助參數；H（r，t）為輔助函數；L為輔助線性算子；u0（r，t）為u（r，t）的 初 始 猜 測 解；φ（r，t，q）為 未 知的函數。

顯然，當q＝0和q＝1時，分別有φ（r，t，0）＝u0（r，t）和φ（r，t，1）＝u（r，t），因此，當q從0變到1時，φ（r，t，q）就從初始猜測值u0（r，t）變到微分方程的解u（r，t）。

由Taylor定理，可將φ（r，t，q）展開成q的冪級數，即

取H（r，t）＝1，（3）式變為：

為方便，定義向量um－1（r，t）＝｛u0（r，t），u1（r，t），…，um－1（r，t）｝，

將（5）式兩邊分別對q求m階偏導，再令q＝0，最后兩邊除以m！，則得到m階變形方程為：

將（4）式代入（8）式得：

這樣，當m≥1時，um（r，t）就可以由（7）式求出。

2 同倫分析解

將運用同倫分析方法求方程（1）的近似解。為方便應用，先介紹以下定理。

定理1 若φ（r，t，q）如（4）式定義，Dm（φ）如（6）式定義，則

證明見文獻［16］。

推論1 由定理1，有：

由方程（9）、（11）和推論1有：

假設（x，t）是方程的一個特解，即

則由m階變形方程（7）和初始條件um（x，0）＝0（m≥1），可得：

對于方程（1），取初始值

已有學者給出方程（1）的精確解［19－20］為：

3 算 例

例1 求解方程（1），其中μ1＝0.01，μ2＝1，μ3＝100。

考慮方程的二階近似解U2（x，t）。首先來考察h對U2（x，t）收斂的影響，為方便，令f＝U2，g＝（U2）xt，s＝（U2）xxtt。

當x＝1，t＝1時，U2－h、（U2）xt－h、（U2）xxtt－h曲線如圖1所示。

圖1 例1的h曲線

由圖1可看出，－5≤h≤5為h的有效區域。取h＝－1，本文得到近似解U2（x，t）與精確解以及文獻［17］中的結果進行比較，見表1所列，結果表明，同倫分析法只需要進行很少的步驟就可得到很精確的結果。當t＝0.8，t＝2.0時近似解與精確解的誤差如圖2所示。

圖2 U2（x，t）的誤差

例2 求解方程（1），其中μ1＝1，μ2＝1，μ3＝1。

本文考慮方程的三階近似解U3（x，t），首先考察h對U3（x，t）收斂的影響，為方便，令f＝U3，g＝（U3）xt，s＝（U3）xxtt，當x＝1，t＝1時的U3－h、（U3）xt－h、（U3）xxtt－h曲線如圖3所示。

由圖3可知，－2≤h≤0為h的有效區域。取h＝－1，本文得到近似解U2（x，t）與精確解以及文獻［17］中的結果進行比較，見表2所列，結果表明，同倫分析法只需要進行很少的步驟就得到很精確的結果。近似解與精確解的絕對誤差如圖4所示。

表1 當t＝1.05時例1近似解與精確解的比較

圖3 例2的h曲線

圖4 例2的U3（x，t）絕對誤差

表2 例2近似解與精確解的比較

例3 求解方程（1），其中μ1＝1，μ2＝－2，μ3＝1。

考慮方程的三階近似解U3（x，t），考察h對U3（x，t）收斂的影響，為方便，令f＝U3，g＝（U3）xt，s＝（U3）xxtt，當x＝1，t＝1時的（U3）xt－h、（U3）xt－h、（U3）xxtt－h曲線如圖5所示，由圖5可看出，－1.1≤h≤－0.7為h的有效區域。取h＝－1，t＝0.1時近似解與精確解以及誤差見表3所列。當t＝0、1.5、3時，本文方法得到的誤差與文獻［17］得到的誤差如圖6、圖7所示，結果表明，本文方法不僅計算步驟少而且精確。

圖5 例3的h曲線

表3 當t＝0.1時例3近似解與精確解的比較

圖6 例3的U3（x，t）誤差

圖7 文獻［17］的誤差

4 結束語

本文利用同倫分析法，求解了一類非線性KdV－Burgers方程，得到其近似解，該解與精確解吻合很好，并與文獻［17］中的結果進行比較，研究發現，該方法不僅計算簡單，并且效率很高。該方法可借助計算機代數系統如Matlab或Maple等軟件快速高效地完成，能夠方便地用于求解非線性演化方程的高精度近似解析解。隨著研究的深入，同倫分析法的理論體系必將日趨完善，從而在非線性科學的研究中發揮更加重要的作用。

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Approximate solution of KdV－Burgers equation based on homotopy analysis method

PENG Qun－fang， GUO Qing－wei
（School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

The homotopy analysis method（HAM）is effective for solving the approximate solution of nonlinear initial value problem.In this paper，the HAM is applied to obtaining the approximate solution of nonlinear KdV－Burgers equation，and the result is compared with that solved by the existing method.It shows that the HAM is an effective method to obtain the approximate solution of nonlinear KdV－Buegers equation with convenience and correctness.

KdV－Burgers equation；homotopy analysis method（HAM）；approximate solution

O241.82

A

1003－5060（2012）03－0424－05

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.03.031

2011－05－27

安徽省自然科學基金資助項目（11040606M06）；安徽省高等學校省級自然科學研究資助項目（2011AJZI0071）

朋群芳（1986－），女，安徽安慶人，合肥工業大學碩士生；

郭清偉（1968－），男，安徽淮北人，博士，合肥工業大學副教授，碩士生導師.

（責任編輯 閆杏麗）