B樣條曲線曲面的一種光順算法

秦賢杰， 黃有度

（合肥工業大學 數學學院，安徽 合肥 230009）

B樣條曲線曲面的一種光順算法

秦賢杰， 黃有度

（合肥工業大學 數學學院，安徽 合肥 230009）

文章給出了一種新的B樣條曲線曲面光順算法，該算法以型值點的變動量為未知量，以型值點變動量的變動范圍為約束條件，給出能量函數；通過遺傳算法對能量函數最小化求解，直接得到光順后的新的型值點；最后給出實例，表明該B樣條曲線曲面光順算法是一種有效的光順算法。

B樣條；曲面；遺傳算法；光順；能量函數

在工業設計和反求工程中，B樣條曲線曲面是一種進行形狀設計和數據擬合的重要工具［1］。B樣條曲線曲面的光順性對最終產品外觀有著直接影響。光順處理包括曲線、曲面的光順性檢查和光順準則制定以及曲線、曲面的修正，現將分別討論這3個問題。國內外已有大量文獻研究曲線曲面的光順問題，但以型值點作為優化變量的文獻較少。文獻［2－3］用應變能最小作為光順準則，加上約束條件對曲線曲面進行局部光順，其最優化變量為曲線曲面的控制頂點。文獻［4－6］將控制頂點作為優化變量，盡管其光順準則有所不同。以控制頂點為優化變量的光順方法，曲線曲面光順后仍需曲線曲面與直線求交，然后求得光順后型值點。與現有方法相比，本文方法直接以型值點變動量作為優化變量，光順后直接得到型值點的變動量及新的型值點，這在船舶型線放樣中有較強的實用性。

1 B樣條曲線的光順

1.1 曲線的光順性檢查

在實際工作中，經常會要求根據給定的型值點用樣條攀成一條經過這些型值點的曲線，即數學中所說的按順序插值型值點生成相應曲線。設給定型值點Q0，Q1，…，Qn，本文用3次B樣條曲線按順序插值這些型值點［7］。型值點的參數化為累加弦長參數化，即令：

其中，li＝｜Qi－1Qi｜。設U＝｛u0，u1，…，un＋6｝＝｝為3次B樣條的節點空間。B樣條基函數的遞推公式為：

現在檢查各型值點Qi（即P））附近的曲率變化情況，P（）附近曲率變化記作ΔK）。令，其中，i＝1，2，…，n－1。K（u）為3次B樣條曲線P（u）的曲率，令

P）附近曲率變化）作為曲線光順性的檢查。大者說明型值點）點附近曲率變動大，相反，小者說明型值點點附近曲率變動小。此處認為小者附近曲線比大者附近曲線更為光順。找出 max｛，i＝1，2，…，n－1｝，假設為，則將Qj、Qj－1、Qj＋1作 為 待 光 順 的型值點。

1.2 曲線的光順準則

1.3 曲線的光順算法

算法的基本步驟如下：

（1）找出“瑕點”，即型值點中型值點附近曲率變化最大的型值點。設max｛ΔK（），i＝1，2，…，n－1｝為 ΔK（），則Qj即為所對應的“瑕點”。

（2）將Qj、Qj－1、Qj＋1作為待修改的型值點。

（3）給定修改約束，設為新型值點，Δj＝｜－Qj｜≤ε，ε為給定的約束范圍。

（4）利用基本遺傳算法求解新型值點、

遺傳算法求解步驟如下［9］：

（1）設型值點Qj、Qj－1、Qj＋1的變動量Δj、Δj－1、Δj＋1為 基 因，種 群 數 為 30，進 化 代 數為1 000。

（2）令＝Qj＋Δj；＝Qj－1＋Δj－1；，重新插值生成經過新型值點的3次B樣條曲線，將作為適應度函數。

（3）經過選擇、交叉、變異等操作后，終止進化，最終得到型值點的變動量Δj、Δj－1、Δj＋1及新的型值點，即：＝Qj＋Δj，＝Qj－1＋Δj－1，

（4）插值新型值點生成光順后的3次B樣條曲線。

（5）判斷是否繼續修改曲線，此時既可以設定為人工判斷，也可以設定為計算機自動根據條件完成判斷。

1.4 曲線光順效果

圖1所示為某工程船型線圖中1條站線的部分曲線圖，圖2所示為帶有噪聲的曲線圖，圖3所示為用本文算法對圖2進行3次光順后的曲線圖?？梢钥闯霰疚那€光順算法十分有效。圖1～圖3中上方為曲線上離散點的曲率圖。

2 B樣條曲面的光順

2.1 曲面的光順性檢查

對曲面的光順一般可以轉化為對曲面的網格曲線或曲面的u、v方向參數曲線的光順。本文將曲面的光順轉化為對曲面的網格曲線的光順。給定型值點列｛Qi，j｝，i＝0，1，…n，j＝0，1，…，m。根據上述插值曲線的方法，可以生成2組曲線，一組以｛Qi，j｝每一橫列的m＋1個型值點生成n＋1條3次B樣條曲線組，此處稱為水線組；另一組以｛Qi，j｝每一豎列的n＋1個型值點生成m＋1條3次B樣條曲線組，此處稱為站線組。

其中，i＝1，2，…，n－1；j＝1，2，…，m－1；K（u）為3次B樣條曲線P（u）的曲率，令

Qi，j附近網格曲線的曲率變化ΔK（i，j）作為網格曲線光順性的檢查。ΔK（i，j）大者說明型值點Qi，j點附近網格曲率變動大；ΔK（i，j）小者說明型值點Qi，j點附近網格曲率變動小。ΔK（i，j）小者附近網格曲線比ΔK（i，j）大者附近網格曲線更為光順。找出 max｛ΔK（i，j），i＝1，2，…，n－1；j＝1，2，…，m－1｝，假設為 ΔK（i，j），則 將Qi，j、Qi－1，j、Qi＋1，j、Qi，j－1、Qi，j＋1作為待光順的型值點。

2.2 曲面的光順準則

曲面光順過程中，可以將?Ω＋）dΩ作為曲面光順程度的判定［5］，其中，k1、k2為曲面的主曲率。本文按照上述曲線光順中的方法，將2組B樣條曲線組的應變能總和最小作為光順準則，，其中，Wi為第i＋1條站線的應變能；Vj為第j＋1條水線的應變能，其求法與上文相同。

2.3 曲面的光順算法

算法的基本步驟如下：

（1）找出“瑕點”，即型值點列中型值點附近網格曲率變化最大的型值點。max｛ΔK（i，j），i＝1，2，…，n－1，j＝1，2，…，m－1｝，設為 ΔK（i，j），則Qi，j即為所對應的“瑕點”。

（2）將Qi，j、Qi－1，j、Qi＋1，j、Qi，j－1、Qi，j＋1作為待修改的型值點。

（3）給定修改約束，設為新型值點，Δi，j＝≤ε，ε為給定的約束范圍。

（4）利用基本遺傳算法求解新型值點、

遺傳算法求解步驟如下：

（1）設型值點Qi，j、Qi－1，j、Qi＋1，j、Qi，j－1、Qi，j＋1的變動量Δi，j、Δi－1，j、Δi＋1，j、Δi，j－1、Δi，j＋1為基因，種群數為30，進化代數為1 000。

（2）令＝Qi，j＋Δi，j，＝Qi－1，j＋Δi，j－1，＝Qi，j＋1＋Δi，j＋1，重新插值生成經過新型值點的3次B樣條曲線網格，將作為適應度函數。

（3）經過選擇、交叉、變異等操作后，終止進化，最終 得 到 新 的 型 值 點 的 變 動 量Δi，j、Δi－1，j、Δi＋1，j、Δi，j－1、Δi，j＋1及新型值點，即

（5）插值新型值點生成光順后的3次B樣條曲線網格。

（6）判斷是否繼續修改曲線網格，此時既可以設定為人工判斷，也可以設定為計算機自動根據條件完成判斷。

（7）根據光順后的型值點及B樣條曲線網格，用蒙皮法生成B樣條曲面。

2.4 曲面光順的效果

圖4所示為某工程船部分水線、站線網格圖。

圖4 水線、站線網格

圖5所示為帶有噪聲的網格圖，圖6所示為用本文算法對圖5進行10次光順后的網格圖。從中可以看出本文算法是十分有效的。

3 結束語

本文提出了一種新的B樣條曲線曲面的光順算法，以型值點的變動量為未知量，以型值點變動量的變動范圍為約束條件，給出能量函數，通過遺傳算法對能量函數最小化求解，直接得到光順后的新的型值點。該算法的優點在于以型值點變化量作為變量，光順處理后直接得到光順后的型值點，這在船舶放樣等工業工程中有較強的實際應用。本文的不足之處在于，給定的修改約束ε過大或過小將影響光順效果。ε過大則光順后的曲線趨于平緩，ε過小則光順的次數需增加。通過實例，可以看出本文算法是十分有效的。

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［3］Liu Yujun，Zhu Xiuli，Ji Zhuoshang.Ship hull plate processing surface fairing with constraints based on B－spline［J］.Journal of Marine Science and Application，2005，4（3）：13－17.

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A kind of fairing method for B－spline curves and surfaces

QIN Xian－jie， HUANG You－du
（School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

In this paper，a new fairing method for B－spline curves and surfaces is presented.Taking the variation of points as the unknown and the range of the variation as the constraint，this method obtains new faired points after defining the energy function and minimizing the energy function with genetic algorithm.The examples given in the paper show the effectiveness of the method.

B－spline；surface；genetic algorithm；fairing；energy function

TP391.411

A

1003－5060（2012）03－0429－04

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.03.032

2011－05－31；

2011－07－06

秦賢杰（1986－），男，安徽安慶人，合肥工業大學碩士生；

黃有度（1949－），男，廣西賀縣人，合肥工業大學教授，碩士生導師.

（責任編輯 張 镅）