《整式的加減》教學初探

新課程與原有的課程相比，教學觀念、教學目標、教學內容、教學方式、教學評價都在更新，新課程強調學生各方面能力的培養，強調學生學習品質的培養，強調學生的自主學習.對數學學科教學來講，則是強調數學思維的培養，提高數學思維品質，提高應用數學的能力，通過學生的自主學習，合作學習，探究性學習，突出學生學習的主體性，全面提高學生的素質.

整式的加減運算是由數的運算拓廣到代數式的運算，整式的加減的實質是合并同類項，而合并同類項的實質是有理數（系數）的加減.為了順利實現整式的加減，還可能需要去括號，所以整式的加減的步驟為：去括號，合并同類項.要正確進行整式的加減，首先必須能正確地去括號，準確判斷式子中的同類項.以下我設計了四大類的例題，力圖通過這些例題的講解，使學生逐步熟練掌握整式的加減，提高學生的化歸轉化能力，體會從特殊到一般的思維過程，體會數學的簡潔美.

一、復習引導類題型

此類例題通過對整式加減的相關知識進行強化練習，為順利進行整式的加減做好充分的準備.

例1：（1）k取何值時，3xy與-xy是同類項？

（2）k取何值時，-3xy與4xy是同類項？

（3）請寫出6abc的一個同類項.

解：（1）當k+1=2即k=1時，3xy與-xy是同類項.

（2）當3k=6即k=2時，-3xy與4xy是同類項.

（3）如：-abc、12abc.

此例題旨在通過復習同類項的概念，使學生熟練掌握同類項的特征，能在一個多項式中準確判斷出哪些項是同類項.

二、合并同類項及整式的加減

此類例題旨在使學生掌握合并同類項及整式的加減運算，主要是選一些基本題型進行訓練.

例2：合并下列多項式中的同類項：

（1）-xy-xy-xy+xy-xy

（2）2a-8ab-ab+5ab+3a+6ab+5b+8ab

解：（1）-xy-xy-xy+xy-xy

=（-xy+xy）+（-xy-xy）-xy

=（-+）xy+（--）xy-xy

=xy+（-1）xy-xy

=xy-xy-xy

（2）原式=2a+3a+5ab-8ab+8ab-ab+6ab+5b

=（2+3）a+5ab+（-8+8）ab+（-1+6）ab+5b

=5a+5ab+5ab+5b

注意：（1）合并同類項時，一定注意不要漏項.（2）多項式合并同類項后所得結果一般按某個字母升（降）冪排列；當結論中含有多個字母時，字母的次序最好按照它在英文字母表中的排列順序寫.

例3：合并下列多項式中的同類項：

（1）（3x-2x+5）+（3x-2x-5）

（2）5a-2b-（3b-4a-1）

分析：首先去括號，然后將同類項進行分組歸類，再合并.

解：（1）（3x-2x+5）+（3x-2x-5）

=3x-2x+5+3x-2x-5

=（-2x+3x）+（3x-2x）+（5-5）

=x+x

（2）5a-2b-（3b-4a-1）

=5a-2b-3b+4a+1=（5a+4a）+（-2b-3b）+1=9a-5b+1

例4：化簡：

（1）（5a-3b）-3（a-2b）

（2）（x-y）-4（2x-3y）

解：（1）（5a-3b）-3（a-2b）

=5a-3b-（3a-6b）

=5a-3b-3a+6b

=2a+3b

（2）（x-y）-4（2x-3y）

=x-y-8x+12y

=-7x+11y

注意：要特別注意括號前有數字因數的情形.先用乘法分配律把數字與括號內的各項相乘，然后去括號，熟練后，也可省略第二步，直接去括號，如（2）題的處理.

例5：合并下列各式的同類項：

（1）2（a-b）+（b-a）-2（b-a）+（a-b）

（2）2（x-2y）-7（x-2y）+3（2y-x）+（2y-x）

分析：把a-b，x-2y分別看做一個字母，因為a-b=-（b-a），所以（a-b）=（b-a），（a-b）=-（b-a），類似地有：（x-2y）=（2y-x），（x-2y）=（2y-x）

解：（1）2（a-b）+（b-a）-2（b-a）+（a-b）

=2（a-b）+（b-a）-2（a-b）-（b-a）

=0·（a-b）+0·（b-a）

=0

（2）2（x-2y）-7（x-2y）+3（2y-x）+（2y-x）

=2（x-2y）-7（x-2y）+3（x-2y）-（x-2y）

=（2+3）（x-2y）+（-7-1）（x-2y）

=5（x-2y）-8（x-2y）

注意：5（x-2y）與-8（x-2y）不是同類項不能合并.

例6：（1）求多項式x-2x+x-4與2x-5x+6的和.

（2）求多項式3x-5xy+6x與-7y-4xy+4x的差.

解：（1）（x-2x+x-4）+（2x-5x+6）

=x-2x+x-4+2x-5x+6

=3x-2x-4x+2

（2）（3x-5xy+6x）-（-7y-4xy+4x）

=3x-5xy+6y+7y+4xy-4x

=-x-x+13y

注意：本題是求兩個多項式的和與差，列式時都要添上括號，把每個多項式分別括起來，再用加減號連接；運算時，按去括號法則，先去掉括號，再合并同類項.

三、化簡求值

通過化簡求值類題型的訓練，進一步熟練掌握整式的加減.

例7：求下列多項式的值：

（1）2a-5a+a+4a-3a-2，其中a=-.

（2）x+3xy-6xy-3xy+4xy+6xy-7xy-2x+y，其中x=-2，y=1.

分析：由于上述兩個多項式中都有同類項，因此應先合并同類項，化簡多項式，然后把未知數的值代入化簡后的多項式中，求出原多項式的值.

解：（1）原式=（2+1-3）a+（-5+4）a-2=-a-2

當a=-時，原式=-（-）-1=-.

（2）原式=x-2x-6xy-7xy+6xy-3xy+3xy+4xy+y

=-x-13xy+6xy-3xy+7xy+y

當x=-2，y=1時

原式=-（-2）-13×（-2）×1+6×（-2）×1-3×（-2）×1

+7×（-2）×1+1

=-16-52+24+6-14+1=-51

注意：如果直接把未知數的值代入多項式，進行有理數的混合運算，既麻煩，又容易出錯，所以對此類題處理的一般方法是先化簡，再求值，這樣往往能簡化運算過程.

四、整式的加減的變式題及提高

通過整式的加減的變式題的訓練，進一步加深學生對整式的加減的理解，鍛煉學生的運算能力和變形技巧，提高學生解決問題的能力.

例8：（1）已知代數式x+x+3的值為7，求代數式2x+2x-3的值.

（2）已知m-n=3，mn=-3，求多項式（-m-4n-mn）-（2mn-2m-3n）-（3mn+2n-2m）的值.

分析：第1小題中，由已知難以求出x的值，但能求得x+x=4的值.再觀察分析發現2x+2x-3可看成2（x+x）-3，從而可整體代入進行求解.第2小題由已知條件同樣難以求出m，n的值，但可對所要求解的多項式進行適當的變形，然后用整體代入的方法求解.

解：（1）因為x+x+3=7，所以x+x=4

所以2x+2x-3=2（x+x）-3=2×4-3=5

（2）（-m-4n-mn）-（2mn-2m-3n）-（3mn+2n-2m）

=-m-4n-mn-2mn+2m+3n-3mn-2n+2m

=3m-3n-6mn

=3（m-n）-6mn

因為m-n=3，mn=-3，

所以，原式=3×3-6×（-3）=9+18=27.

整式的加減是七年級的重要內容，希望通過上述例題的教學，能使學生熟練掌握整式的加減，為后續知識的學習打下堅實的基礎.