2012年陜西中考壓軸題與教材的聯系

中考壓軸題是尖子生能否拿到高分甚至滿分的決定性因素，也是教師們重點講述的內容，所考查的知識點及基本思路與教材的聯系至關重要.

2012年陜西省的壓軸題涉及了正三角形的內接正方形的題目，第一問使用位似變換畫出正三角形的內接正方形，第二問求第一問所畫正三角形的內接正方形的邊長，第三問求兩個正方形的面積和的最值，在難度提高的同時計算量也增大了很多.

題目：正三角形ABC的邊長為3+.

（1）如圖①，正方形EFPN的頂點E，F在邊AB上，頂點N在邊AC上.在正三角形ABC及其內部，以A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不要求寫作法）；

（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長；

（3）如圖④，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE，EF在邊AB上，點P，N分別在邊CB，CA上，求這兩個正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由.

考查知識點：本題主要考查位似變換，等邊三角形的性質，勾股定理，特殊的三角形，三角函數，正方形的性質，以及二次函數的應用.

分析：（1）要求利用位似圖形的性質，做出正方形的EFPN的位似正方形E′F′P′N′；

（2）根據正三角形，正方形，直角三角形相關線段之間的關系，找等量關系，列方程，求出正方形E′F′P′N′的邊長；

（3）可以將兩個正方形的邊長設成未知數，把幾何問題轉化成代數的問題，即關于正方形邊長的二次函數，再求最值.

解：（1）如圖①，正方形E′F′P′N′即為所求.

（2）解法1：如圖②所示，設正方形E′F′P′N′的邊長為x

作CH⊥AB于點H交N′P′于點K

在△CN′K中，N′K=，CK=CH-KH=（3+）-x

∵△CN′K是直角三角形，且∠CN′K=60°

∴N′K=CK，即·=[（3-）-x]

∴（+1）x=

解之x=3-3

這種解法利用了RT△CN′K的特殊角度，邊N′K與邊CK之間的數量關系，列出了等式，再把邊的關系轉化成正方形E′F′N′P′的邊長x的方程，從而求出x的值.

解法2：如圖②所示，設正方形E′F′P′N′的邊長為x

設E′F′=x

∵△AE′N′∽△AHC

∴=

即x==

即x=（-）

解之x=3-3.

這種解法使用的是相似三角形的知識，利用相似中的對應邊成比例將所求的邊長放入比例中得出結果.這和北師大版九下課本中《最大面積是多少》一課中的引例類似.引例為：如圖③所示，在一個直角三角形的內部作一個矩形ABCD，其中AB和AD邊分別在兩直角邊上.

（1）如果設矩形的一邊AB=x，那么AD邊的長度如何表示？

（2）設矩形的面積為Ym，當x取何值時，Y的值最大是多少？

這道題的基本思路是利用兩個直角三角形的相似，列出了比例，把未知的邊放入比例中，即為：=，則可以用含有x的代數式表示AD了，這兩種解法的基本思路是一樣的.

（3）解：設正方形EFPH的邊長PF為m，則在△BPF中BF=m.

由AE=AB-EF-BF得AE=（3+）-（m+m）

∵在△AND中，AD=DN=DE

∴DE+DE=（3+）-（m+m），即DE=3-m

∴S=m+（3-m）=2m-6m+9

此處m最大取第二問中的結論3-3，最小時如圖⑤所示，易知ME=3-3，BE=3-，BF=3--m，△BPF∽△BME

∴=，即=

解之m=6-3

∴6-3≤m≤3-3

∵S=2m-6m+9是開口向上的二次函數，且對稱軸為m=包含在6-3≤m≤3-3中

∴當m=時，S取最小值，S=2×（）-6（）+9=

又∵|6-3-|=|3-3-|

∴當m=6-3或m=3-3時，S取最大值，且S=2（3-3）-6（3-3）+9=99-54.

這種解法是數形結合思想的運用，將圖形面積轉化成二次函數的形式，再運用二次函數圖像的增減性求最值，但是要求分步求出自變量的取值范圍，運用第二問中的結論和三角形的相似來解決，特別是求m的最小值時，在第（1）問圖形的基礎上再作圖，運用比例解決問題，這和前面提到的北師大版的九下課本中《最大面積是多少》一課引例的第二問類似，把面積問題轉化成了關于邊長的二次函數，求二次函數的最值來得到面積的最值，但是這道題難度增加了，特別是自變量的取值范圍得出不容易，計算量大，思路基本一致，對學生來說有一定的難度，如果二次函數的基礎扎實，使用這種方法就會得心應手.

大部分學生害怕中考壓軸題，不能從心理上戰勝它，如果把壓軸題和教材聯系起來，把教材的知識點和基本題型融入壓軸題之中，就不是那么難了.教師應當鼓勵并引導中等學生，至少要做出簡單的前兩問，盡量多得分.