摩擦力做功問(wèn)題的多角度分析與拓展

徐華兵

（金華第一中學(xué)，浙江 金華 321015）

摩擦力做功問(wèn)題一直是高中物理的一個(gè)難點(diǎn)，也是教學(xué)的重點(diǎn).學(xué)生在做這類題目時(shí)常分不清摩擦力做功情況，以致無(wú)法解題.筆者在關(guān)于摩擦力做功的教學(xué)中采取了分類歸納教學(xué)，取得了很好的教學(xué)效果.本文通過(guò)對(duì)靜、動(dòng)摩擦力做功問(wèn)題進(jìn)行分類歸納多角度解析，希望對(duì)學(xué)生解決摩擦力做功類問(wèn)題有所幫助.

1 靜摩擦力做功

（1）單個(gè)靜摩擦力做功.

很多學(xué)生對(duì)靜摩擦力做功意識(shí)模糊，認(rèn)為靜摩擦力是產(chǎn)生于“靜止”的物體之間，所以靜摩擦力一定對(duì)物體不做功.其實(shí)并非如此，請(qǐng)欣賞生活中常見靜摩擦力做功情境.用手握住一個(gè)啤酒瓶子，使啤酒瓶呈豎直狀態(tài).對(duì)啤酒瓶進(jìn)行受力分析可知，啤酒瓶受到手對(duì)它向上的靜摩擦力.當(dāng)手和啤酒瓶向上做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移向上，手對(duì)啤酒瓶的靜摩擦力是動(dòng)力，對(duì)啤酒瓶做正功；當(dāng)手和啤酒瓶向下做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移向下，手對(duì)啤酒瓶的靜摩擦力是阻力，對(duì)啤酒瓶做負(fù)功；當(dāng)手和啤酒瓶在水平面上做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移在水平面上，手對(duì)啤酒瓶的靜摩擦力方向和位移的方向垂直，對(duì)啤酒瓶不做功.

從上面情境中，很容易看出靜摩擦力可以對(duì)物體做正功，也可以做負(fù)功，還可以不做功，關(guān)鍵是要看物體受到的靜摩擦力方向和它運(yùn)動(dòng)方向間的關(guān)系.下面再通過(guò)其他實(shí)例談?wù)勳o摩擦力做功情況：

① 靜摩擦力可以對(duì)物體做正功和負(fù)功.

例1.如圖1所示，質(zhì)量分別為m和M的A、B兩個(gè)木塊疊放在光滑的水平面上，A與B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)用一水平拉力F作用于A，使A和B保持相對(duì)靜止一起向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，位移為s，則在這一過(guò)程中靜摩擦力對(duì)A物體做多少功，對(duì)B做多少功.

解析：要求出靜摩擦力對(duì)A、B做的功，首先要知道A、B兩物體所受靜摩擦力的大小和方向.對(duì)A、B進(jìn)行受力分析，如圖2中（a）、（b）所示.由于A、B保持相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，對(duì)整體運(yùn)用牛頓第二定律知加速度利用隔離法求出靜摩擦力再由功的計(jì)算式W＝Fscosθ得靜摩擦力對(duì)A物體做的功對(duì)B物體做的功由此可見A、B之間的靜摩擦力對(duì)A物體做負(fù)功，對(duì)B物體做正功.

圖1

圖2

② 靜摩擦力可以對(duì)物體不做功.

圖3

例2.放在水平圓盤上的一物體m，隨圓盤一起繞過(guò)圓盤中心的垂直軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（如圖3所示），物體m始終和圓盤處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，求圓盤對(duì)物體的靜摩擦力對(duì)物體做的功.

解析：由于物體隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓盤對(duì)物體的靜摩擦力提供物體所需向心力，即物體所受的靜摩擦力方向指向圓盤中心.由于此靜摩擦力的方向每時(shí)每刻都和物體做圓周運(yùn)動(dòng)線速度的方向垂直，所以此靜摩擦力對(duì)物體不做功.

由以上分析可以得出：靜摩擦力對(duì)物體可以做正功也可以做負(fù)功，還可以不做功.判斷靜摩擦力做功的關(guān)鍵是要分析清楚靜摩擦力的方向與物體對(duì)地位移的關(guān)系.當(dāng)靜摩擦力方向與物體對(duì)地位移方向相同即靜摩擦力作為物體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力時(shí)，靜摩擦力對(duì)物體做正功；當(dāng)靜摩擦力的方向與物體位移方向相反即靜摩擦力作為物體運(yùn)動(dòng)的阻力時(shí)，靜摩擦力對(duì)物體做負(fù)功；當(dāng)靜摩擦力的方向與物體位移方向垂直即靜摩擦力既不是動(dòng)力也不是阻力時(shí)，靜摩擦力對(duì)物體不做功.

（2）一對(duì)靜摩擦力的合功（即作用力與反作用力做的總功）.

靜摩擦力存在于無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)而具有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的物體之間，因此產(chǎn)生靜摩擦力的兩個(gè)物體對(duì)地位移一定相等，而物體間這一對(duì)靜摩擦力互為作用力和反作用力，大小相等、方向相反.所以如果其中的一個(gè)靜摩擦力做正功，那么另一個(gè)靜摩擦力一定做負(fù)功，且負(fù)功的數(shù)值一定等于正功的數(shù)值；或者如果其中一個(gè)靜摩擦力做功為0，那么另一個(gè)靜摩擦力做功也一定為0.即有一對(duì)靜摩擦力做功的代數(shù)和一定為0.前面是通過(guò)邏輯推理的角度得到一對(duì)靜摩擦力做的合功一定為0，下面再通過(guò)具體的例子作進(jìn)一步分析.

在上面的例1中，A與B物體之間存在的是靜摩擦力，B對(duì)A的靜摩擦力對(duì)A做的功對(duì)B的靜摩擦力對(duì)B做的功這一對(duì)靜摩擦力做的合功即這一對(duì)靜摩擦力做的合功為0.在上面的例2中物體和圓盤之間存在的也是靜摩擦力，但物體和圓盤沿摩擦力的方向?qū)Φ氐奈灰贫紴?，即靜摩擦力對(duì)物體做的功為0，靜摩擦力對(duì)圓盤做的功也為0，所以這一對(duì)靜摩擦力做的合功為0.

由以上分析得出，一對(duì)靜摩擦力做功的代數(shù)和一定為0.它包含兩種情況：一是這一對(duì)靜摩擦力一個(gè)做正功，一個(gè)做負(fù)功，但數(shù)值相等，其代數(shù)和為0；二是這一對(duì)靜摩擦力中的每一個(gè)靜摩擦力做功都為0，即每個(gè)靜摩擦力都不做功.

（3）一對(duì)靜摩擦力做的合功與系統(tǒng)能量間的關(guān)系.

通過(guò)前面的分析已知一對(duì)靜摩擦力對(duì)物體做功的代數(shù)和為0，而功又是能量轉(zhuǎn)化的量度.所以在一對(duì)靜摩擦力做功過(guò)程中，產(chǎn)生靜摩擦力的兩個(gè)物體系所具有的機(jī)械能不會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)化，即物體系的機(jī)械能不會(huì)轉(zhuǎn)化為其他形式的能.但這一對(duì)靜摩擦力中的某一個(gè)力可能對(duì)其中一個(gè)物體做正功，使這一個(gè)物體的機(jī)械能增加，如上面例1中的靜摩擦力對(duì)B做正功，使B物體的機(jī)械能增加；另一個(gè)力肯定對(duì)另一個(gè)物體做負(fù)功，使這一物體的機(jī)械能減少.進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)靜摩擦力做功會(huì)使物體系中物體間的機(jī)械能發(fā)生轉(zhuǎn)移，但物體系總的機(jī)械能不發(fā)生變化.

2 滑動(dòng)摩擦力做功

（1）單個(gè)滑動(dòng)摩擦力做功.

判斷滑動(dòng)摩擦力做功情況時(shí)，常有學(xué)生認(rèn)為滑動(dòng)摩擦力是由于物體間發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)而產(chǎn)生的，那么滑動(dòng)摩擦力的方向一定和物體的“位移”方向相反，所以滑動(dòng)摩擦力一定對(duì)物體做負(fù)功.其實(shí)不然，請(qǐng)欣賞下面生活情境，分析滑動(dòng)摩擦力做功情境.

用手拿著黑板擦擦黑板，黑板擦和黑板之間發(fā)生了相對(duì)滑動(dòng)，黑板和黑板擦所受的摩擦力都是滑動(dòng)摩擦力.黑板對(duì)黑板擦的滑動(dòng)摩擦力方向與黑板擦位移方向相反，據(jù)功的計(jì)算式知滑動(dòng)摩擦力對(duì)黑板擦做負(fù)功；而在這一過(guò)程中黑板的位移為0，即黑板擦對(duì)黑板的滑動(dòng)摩擦力對(duì)黑板不做功.

從上面這常見情境中知道滑動(dòng)摩擦力可以對(duì)物體做負(fù)功，也可以對(duì)物體不做功，進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)滑動(dòng)摩擦力還可以對(duì)物體做正功.下面通過(guò)具體實(shí)例來(lái)解析滑動(dòng)摩擦力做功情況.

① 滑動(dòng)摩擦力可以對(duì)物體做正功和負(fù)功.

例3.如圖4所示，一長(zhǎng)為l，質(zhì)量為M的平板車B，放置在光滑的水平面上，有一質(zhì)量為m的小金屬塊A（可看做質(zhì)點(diǎn)）以水平初速度v0滑進(jìn)動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的平板車上部，小鐵塊從平板車左端滑到平板車右端時(shí)與平板車保持相對(duì)靜止，已知在這一過(guò)程中平板車發(fā)生的位移為s，求該過(guò)程中滑動(dòng)摩擦力對(duì)小金屬塊A和平板車B做的功.

解析：（a）滑動(dòng)摩擦力對(duì)小金屬塊A的做功情況：小金屬塊A對(duì)地的位移為l＋s，所受的滑動(dòng)摩擦力方向與位移方向相反，所以滑動(dòng)摩擦力對(duì)A做負(fù)功，其值為

圖4

（b）滑動(dòng)摩擦力對(duì)平板車B做功情況：在這一過(guò)程中平板車對(duì)地的位移為s，所受滑動(dòng)摩擦力的方向與位移的方向相同，所以滑動(dòng)摩擦力對(duì)平板車B做正功，其值為

② 滑動(dòng)摩擦力可以對(duì)物體不做功.

如果例3中的平板車固定不動(dòng)，只是小金屬鐵塊A在平板車上滑動(dòng)，則小金屬塊A和平板車B所受的滑動(dòng)摩擦力大小和方向不變，對(duì)小金屬塊A滑動(dòng)摩擦力的方向和位移方向相反，滑動(dòng)摩擦力對(duì)小金屬塊A做負(fù)功；平板車B固定不動(dòng)，對(duì)地位移為0，即滑動(dòng)摩擦力對(duì)平板車B不做功.

從上面的分析可以看出，滑動(dòng)摩擦力可以對(duì)物體做正功，也可以對(duì)物體做負(fù)功，還可以對(duì)物體不做功.當(dāng)滑動(dòng)摩擦力阻礙物體的運(yùn)動(dòng)即滑動(dòng)摩擦力為阻力時(shí)，滑動(dòng)摩擦力對(duì)物體做負(fù)功；當(dāng)滑動(dòng)摩擦力促進(jìn)物體的運(yùn)動(dòng)即滑動(dòng)摩擦力為動(dòng)力時(shí)，滑動(dòng)摩擦力對(duì)物體做正功；當(dāng)物體在滑動(dòng)摩擦力的作用下相對(duì)地面靜止（即位移為0）時(shí)，即滑動(dòng)摩擦力既不作動(dòng)力也不作阻力時(shí)，滑動(dòng)摩擦力對(duì)物體做功為0.

（2）一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做的功（即滑動(dòng)摩擦力的作用力和反作用力做的總功）.

通過(guò)上面的分析已知滑動(dòng)摩擦力可以對(duì)物體做正功，也可以對(duì)物體做負(fù)功，還可以對(duì)物體不做功.而滑動(dòng)摩擦力是由于物體間相對(duì)滑動(dòng)而產(chǎn)生的，故兩個(gè)物體對(duì)地的位移不相等.根據(jù)功的計(jì)算式知滑動(dòng)摩擦力做負(fù)功的數(shù)值一定大于滑動(dòng)摩擦力做正功的數(shù)值，即這一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做的總功一定為負(fù).下面以例3為例作進(jìn)一步的分析：當(dāng)平板車運(yùn)動(dòng)時(shí)，平板車對(duì)小金屬塊的滑動(dòng)摩擦力對(duì)小金屬塊A 做的功W1＝－fAB（l＋s）＝－μmg（l＋s），小金屬塊對(duì)平板車B的滑動(dòng)摩擦力對(duì)平板車B做的功W2＝fBAs＝μmgs，所以這一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做的總功W＝W1＋W2＝－μmg（l＋s）＋μmgs＝－μmgl，為負(fù)值.當(dāng)平板車固定時(shí)，平板車對(duì)小金屬塊的滑動(dòng)摩擦力對(duì)小金屬塊做負(fù)功，而小金屬塊對(duì)平板車的滑動(dòng)摩擦力對(duì)平板車不做功，故這一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做的總功也為負(fù)值.

進(jìn)一步分析可知一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功之和一定為負(fù)值.它包含3種可能的情況：一是一對(duì)滑動(dòng)摩擦力一個(gè)做正功一個(gè)做負(fù)功，但負(fù)功的數(shù)值大于正功的數(shù)值，即如同例3中一對(duì)滑動(dòng)摩擦力對(duì)小金屬塊和平板車做功情形；二是一個(gè)滑動(dòng)摩擦力做負(fù)功，而另一個(gè)滑動(dòng)摩擦力對(duì)物體不做功，其總功為負(fù)值，即如同例3中平板車固定不動(dòng)時(shí)這一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功的情形；三是一對(duì)滑動(dòng)摩擦力都對(duì)物體做負(fù)功，其總功為負(fù)值，如圖5中向相反方向發(fā)生滑動(dòng)的兩個(gè)物體之間產(chǎn)生的滑動(dòng)摩擦力，其中A對(duì)B的滑動(dòng)摩擦力對(duì)B做負(fù)功，B對(duì)A的滑動(dòng)摩擦力對(duì)A也做負(fù)功，這一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做的總功為負(fù)值.

（2）一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做的合功與系統(tǒng)能量間的關(guān)系.

在例3中以小金屬塊A為研究對(duì)象，滑動(dòng)摩擦力對(duì)小金屬塊A做的功W1＝－fAB（l＋s）＝－μmg（l＋s）.根據(jù)動(dòng)能定理，小金屬塊A動(dòng)能的變化量ΔEk金＝W1＝－μmg·（l＋s）.此式表明小金屬塊從開始滑動(dòng)到相對(duì)平板車靜止的過(guò)程中，其動(dòng)能減小即機(jī)械能減小.以平板車為研究對(duì)象，滑動(dòng)摩擦力對(duì)平板車所做的功W2＝fs＝μmgs.根據(jù)動(dòng)能定理可知平板車B的動(dòng)能變化量ΔEk車＝W2＝μmgs，此式表明金屬塊從開始滑動(dòng)到相對(duì)平板車靜止的過(guò)程中，平板車的動(dòng)能在增加.將兩式相加有ΔEk金＋ΔEk車＝W1＋W2＝－μmgl，由此式可知在這一過(guò)程中，小金屬塊和平板車組成的系統(tǒng)機(jī)械能在減小，減少的數(shù)值等于滑動(dòng)摩擦力與小金屬塊和平板車之間相對(duì)位移的乘積，這部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能使系統(tǒng)產(chǎn)生熱量.

圖5

由此可以得出，滑動(dòng)摩擦力對(duì)相互作用的兩物體系統(tǒng)做負(fù)功，使系統(tǒng)的機(jī)械能減小，轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，即摩擦生熱.產(chǎn)生的熱量等于摩擦力和相互摩擦的兩個(gè)物體間相對(duì)路程的乘積，即Q＝fs相對(duì).

所以對(duì)存在滑動(dòng)摩擦力的系統(tǒng)，在一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功的過(guò)程中，能量的改變包括兩種情況：一是系統(tǒng)內(nèi)相互作用的物體間機(jī)械能發(fā)生相互轉(zhuǎn)移，機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體；二是系統(tǒng)內(nèi)物體的機(jī)械能發(fā)生轉(zhuǎn)化，將系統(tǒng)內(nèi)的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)內(nèi)能.

本文對(duì)靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力做功情況以及一對(duì)摩擦力做功與系統(tǒng)能量間的關(guān)系作了多角度的歸納總結(jié).學(xué)生在遇到摩擦力做功問(wèn)題時(shí)，一定要根據(jù)具體的情境判斷物體所受的摩擦力和物體對(duì)地位移間的關(guān)系，從而判斷摩擦力的做功情況.