巧用能量圖解題

李進(jìn)軍

（唐山市灤南縣第一中學(xué)，河北 唐山 063500）

1 什么是能量圖

力學(xué)中的能量圖就是物體的動(dòng)能、勢(shì)能或機(jī)械能隨空間坐標(biāo)變化的圖像.若分別以Ek、Ep、E表示物體的動(dòng)能、勢(shì)能和機(jī)械能，以x表示物體直線運(yùn)動(dòng)的位置坐標(biāo)，則能量圖即為Ek－x圖、Ep－x圖和E－x圖.若x與時(shí)間t有函數(shù)關(guān)系，則可分別有Ek－t圖、Ep－t圖和E－t圖.本文中只涉及直線運(yùn)動(dòng)中能量隨坐標(biāo)變化的情況.

例如以初速v0將一質(zhì)量為m的物體豎直上拋.以拋出點(diǎn)O為x軸原點(diǎn)，取向上為x軸的正方向，并以其O點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn).在不計(jì)空氣阻力的情況下，其動(dòng)能Ek隨坐標(biāo)x變化的函數(shù)關(guān)系為其重力勢(shì)能隨坐標(biāo)x變化的函數(shù)關(guān)系為Ep＝mgx.機(jī)械能為因?yàn)橹挥兄亓?duì)物體做功，機(jī)械能是守恒的.依照以上3種能量與坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，畫出能量圖如圖1所示，圖中對(duì)應(yīng)于Ek＝0的坐標(biāo)xm為物體豎直上拋的最高點(diǎn).由功能關(guān)系知，Ek－x圖的斜率大小為物體所受合外力大小，斜率為負(fù)表示隨x的增大（或減小）動(dòng)能相應(yīng)減?。ɑ蛟龃螅?Ep－x圖的斜率大小表示引起勢(shì)能的那個(gè)力（即重力）的大小，斜率為正表示隨x的增大（或減小），勢(shì)能也增大（或減?。?E－x 圖的斜率大 小表示除引起勢(shì)能以外的力的合力大小.本例中，因除重力外，再無其他力作用于物體，則E－x圖的斜率為0.有些過程中，能量圖可能是曲線，在這些曲線的斜率為0處，表示做功用來改變相應(yīng)能量的那個(gè)力在此處變?yōu)?.

2 利用能量圖解題

與那些物理量隨時(shí)間變化的圖像相比，學(xué)生剛接受能量圖可能會(huì)感到抽象.一是因?yàn)槟芰繄D一般不反映過程發(fā)生的時(shí)間先后，只反映過程被限定的空間范圍.一幅能量圖可能表示多個(gè)物理過程，尤其是在機(jī)械能守恒的過程中，無論物理過程是朝向x增大還是x減小的方向進(jìn)行，能量圖都是相同的.二是因?yàn)閯?shì)能Ep是個(gè)只具相對(duì)意義的標(biāo)量，其大小與零勢(shì)能位置的選擇有關(guān)，其正負(fù)表示的是相對(duì)零勢(shì)位置的高低.

能量圖把物理量間的關(guān)系幾何化了，這樣就便于運(yùn)用幾何知識(shí)處理物體運(yùn)動(dòng)的空間邊界值問題.在解題實(shí)踐中，注重經(jīng)常性地做有關(guān)能量圖的看圖、畫圖和用圖練習(xí)，其簡(jiǎn)明性、直觀性會(huì)激起大家的興趣.

圖1

例1.滑塊以速度v1靠慣性沿固定斜面由斜面底端向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)速度變?yōu)関2，且v2＜v1.若滑塊向上運(yùn)動(dòng)的位移中點(diǎn)為A，取斜面底端重力勢(shì)能為0.則

（A）上升時(shí)機(jī)械能減少，下降時(shí)機(jī)械能增加.

（B）上升時(shí)機(jī)械能減少，下降時(shí)機(jī)械能也減少.

（C）上升過程中動(dòng)能和勢(shì)能相等的位置在A點(diǎn)上方.

（D）上升過程中動(dòng)能和勢(shì)能相等的位置在A點(diǎn)下方.

圖2

圖3

解析：設(shè)斜面傾角為θ，斜面對(duì)滑塊的摩擦力的大小為Ff，沿斜面向上建立直線坐標(biāo)系，如圖2所示.則滑塊沿斜面上滑過程中，機(jī)械能的表達(dá)式為重力勢(shì)能的表達(dá)式為Ep＝mgxsinθ.在圖3所示的坐標(biāo)系中做出E－x和Ep－x兩條直線，則兩圖交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)表示物體在斜面上能達(dá)到的最大位移，兩線實(shí)線部分之間的豎直實(shí)線的長(zhǎng)度表示該坐標(biāo)下滑塊的動(dòng)能，A表示最大位移的中點(diǎn).現(xiàn)在的問題是：在A處，EkA對(duì)應(yīng)于豎直線的長(zhǎng)度，EpA對(duì)應(yīng)于豎直線的長(zhǎng)度.二者并不相等.顯然，Ek＝Ep的點(diǎn)應(yīng)在A點(diǎn)的右側(cè).即上升過程中動(dòng)能和勢(shì)能相等的位置應(yīng)在A點(diǎn)上方.（C）選項(xiàng)正確.

例2.一物體從固定斜面底端以初動(dòng)能Ek0沿斜面上滑，達(dá)最高點(diǎn)后又返回斜面底端，此時(shí)物體的動(dòng)能是若此物體在斜面底端的初動(dòng)能改為2Ek0，求物體返回斜面底端時(shí)的動(dòng)能將變?yōu)槎嗌伲?/p>

解析：取斜面底端為x軸原點(diǎn)，同時(shí)也是重力勢(shì)能零點(diǎn)，x軸方向沿斜面向上.設(shè)物體的質(zhì)量為m，物體在斜面上受摩擦力大小為Ff，斜面的傾角為θ.

初動(dòng)能為Ek0時(shí)，物體沿斜面上滑過程中機(jī)械能與x的關(guān)系式為E＝Ek0－Ffx.初動(dòng)能為2Ek0時(shí)，物體沿斜面上滑過程中機(jī)械能與x的關(guān)系式為E′＝2Ek0－Ffx.兩式的斜率相同，圖像為平行直線，只是截距不同.兩種情況下物體滑回原點(diǎn)過程中機(jī)械能隨x變化的斜率大小均不變.且無論初動(dòng)能大小如何，也不論物體沿斜面是上滑還是下滑，重力勢(shì)能與x的關(guān)系式均為Ep＝mgxsinθ.

圖4

首先畫出共同的Ep－x圖像.由于初動(dòng)能為Ek0時(shí)，物體返回x＝0處的動(dòng)能為且上滑和下滑兩過程中的E－x圖像的斜率大小相等.很容易畫出上滑和返回過程的E－x圖，即C—D—F線.當(dāng)初動(dòng)能改為2Ek0時(shí)，上滑過程中的E－x圖像與CD平行，即圖中的AB線.現(xiàn)在我們要回答的問題是：返回過程中的E－x圖應(yīng)該由B點(diǎn)回到縱軸上的哪點(diǎn)呢？現(xiàn)假設(shè)要回到G點(diǎn)（圖中未畫出）.由幾何關(guān)系知，△ABO∽△CDO，相似比為2∶1，則AB∶CD＝2∶1，并且△ABG∽△CDF，相似比也等于2∶1.可知AG∶CF＝2∶1.因必有AG＝Ek0.可見，G點(diǎn)其實(shí)就應(yīng)該是C點(diǎn).G點(diǎn)對(duì)應(yīng)的機(jī)械能全部為動(dòng)能.所以本題答案是：物體返回斜面底端時(shí)的動(dòng)能將變?yōu)镋k0.

例3.甲分子固定在坐標(biāo)原點(diǎn)O，乙分子位于x軸上，兩分子系統(tǒng)的分子勢(shì)能曲線如圖5所示，a、b、c、d為x軸上4個(gè)特定位置，現(xiàn)把乙分子從a處由靜止釋放，則

（A）乙分子能由a運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，且一直做加速運(yùn)動(dòng).

（B）乙分子能由a運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)，且一直做加速運(yùn)動(dòng).

（C）乙分子能由a運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)，且先做加速運(yùn)動(dòng)，后做減速運(yùn)動(dòng).

（D）乙分子能由a運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)，且先做加速運(yùn)動(dòng)，后做減速運(yùn)動(dòng).

解析：將乙分子從a點(diǎn)由靜止釋放時(shí)，系統(tǒng)有負(fù)的分子勢(shì)能，動(dòng)能為0.動(dòng)能和分子勢(shì)能的總和（以下稱總能量）就等于此時(shí)的分子勢(shì)能Epa.在乙分子向左運(yùn)動(dòng)的過程中，由于總能量守恒，有E＝Epa.所以E－x圖是平行x軸的直線，如圖6所示.E－x圖與Ep－x圖的兩個(gè)交點(diǎn)e、f代表乙分子運(yùn)動(dòng)范圍的兩個(gè)邊界點(diǎn).假如超出e、f之間的范圍，動(dòng)能Ek＝E－Ep＝Epa－Ep＜0，這是不可能的.所以只有（A）選項(xiàng)正確.

圖5

圖6

例4.圖7表示一物體從x＝x1開始，在x軸上運(yùn)動(dòng)的總能量E－x圖和勢(shì)能Ep－x圖，其中E1和E2表示小大不同的兩個(gè)守恒的總能量.Ep－x圖以x軸為漸近線，試分別指出總能量各為E1和E2時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)的情形.

圖7

解析：由Ep－x圖可知，勢(shì)能Ep隨x的增大逐漸增大到0，由于變化率隨x的增大先增大后減小，所以僅有的、對(duì)物體做功的力隨x的增大先增大后減小.當(dāng)總能量為E1時(shí)，由E1－x圖和Ep－x圖之間的豎直線代表的動(dòng)能可知，在x＝x1處物體的初動(dòng)能不為0，但初速度方向可能沿＋x方向，也可能沿－x方向.如果沿＋x方向，則物體做變減速直線運(yùn)動(dòng)，在x＝x2時(shí)速度減為0，然后沿－x方向做變加速直線運(yùn)動(dòng).如果沿－x方向，則物體做變加速直線運(yùn)動(dòng).

當(dāng)總能量為E2時(shí)，物體從x＝x1處開始運(yùn)動(dòng)的初動(dòng)能比第一種情況大很多.初速度方向也有＋x方向和－x方向兩種可能.不同的是E2－x圖與Ep－x圖沒有交點(diǎn).即初速度沿＋x方向時(shí)，物體的速度永遠(yuǎn)不能減為0，物體將先做變減速直線運(yùn)動(dòng)，最終做勻速直線運(yùn)動(dòng).如果初速度方向沿－x方向，則物體做變加速直線運(yùn)動(dòng).

3 小結(jié)

（1）利用能量圖解題時(shí)，要特別注意找出圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.并弄清其截距、斜率、正負(fù)所表示的物理意義，這是正確解題的基礎(chǔ).

（2）在作能量圖時(shí)，只需畫出E－x圖和Ep－x圖，而動(dòng)能Ek＝E－Ep，則由E－x圖和Ep－x圖之間的豎直線的長(zhǎng)短來體現(xiàn).

（3）若E－x圖和Ep－x圖有交點(diǎn)，則表示物體運(yùn)動(dòng)空間有邊界.

（4）無論動(dòng)能和勢(shì)能的總和是否守恒，Ek＝E－Ep總是成立的.但應(yīng)注意動(dòng)能不能為負(fù)值.

（5）能量圖不表示過程發(fā)生的時(shí)間順序.如題意沒有明確初態(tài)，則應(yīng)把同一組能量圖對(duì)應(yīng)的多種物理情景分別加以討論.

利用能量圖解題的方法和步驟，用文字?jǐn)⑹銎饋硭坪跻膊⒉荒敲春?jiǎn)潔，但實(shí)際操作起來，寥寥數(shù)筆就能解決問題，值得一試.