運用萬有引力定律處理衛星問題的通式及思考

楊小林

（深圳第二實驗學校，廣東 深圳 518021）

新課改《物理課程標準》將“萬有引力定律”安排在必修2模塊中，依據《物理課程標準》審定的不同教材關于這部分的設計各有不同，除了江蘇版的設置只有兩節外，其他5個版本教材都設置了3節或更多，其中人教版的達6節.從高考的考試大綱來看，以2011年廣東為例，萬有引力定律及其應用和環繞速度都是Ⅱ級要求（即對所列知識要理解其確切的含義及與其他知識的聯系，能夠進行敘述和解釋，并能在實際問題的分析、綜合、推理和判斷等過程中運用.與課程標準中的“理解”和“應用”相當.）從歷年高考來看，這部分也是必考內容.

從教學后的反饋看，多數學生認為該章比拋體運動或圓周運動難學，知識點、規律、公式、概念多，如開普勒三大定律、萬有引力定律、宇宙速度、衛星的運行速度與發射速度、衛星的角速度、加速度、周期、能量、近地衛星與同步衛星，向心加速度與重力加速度的關系、衛星變軌問題、天體質量與密度的估算等等，公式、符號多，運算繁雜.其實這么多內容，都可以用一串連等式來歸納概括，公式如下：

具體分析如下：

（1）首先開普勒三大定律中考得最多的第三定律就藏在（1）式中：開普勒第三定律表達式為為行星橢圓軌道半長軸，T為行星公轉周期，k為常量）由于橢圓軌道與圓十分接近，中學階段認為a＝r，由（1）式中推出，這樣我們還知道影響這個常量的因素是M（即太陽質量），這個結論也可以推廣到地球及其衛星，月球及其衛星…….

（3）高中物理題中最常見的衛星運行速度、角速度、加速度、周期等均可由（1）式分別推出，對于很多選擇題，我們不用定量計算，只要定性知道大小關系就可以了，所以，我們還可以定性描述上述物理量的變化規律，那就是r增大，v、ω、a減小，而周期和機械能則相反，隨著r增大而增大.并且可以借助示意圖來理解，答題會更快捷，如圖1所示.

圖1

（4）星球表面重力加速度g，以地球為例（以R表示地球半徑）由推出gR2＝GM，此關系式被稱為“黃金代換”，足見其重要性.若不在地球表面，而是在空中，則隨r增大而減小.

（5）萬有引力定律的應用，除了上述人造衛星外，還有估算天體質量或密度，發現未知天體等等.以估算天體質量為例，方法和思路也在（1）式中，由推出，即要估算某個天體的質量，就把它作為中心天體，去尋找它的一顆衛星的周期和軌道半徑就可以了.同理也可以用（r、ω）或（r、v）求出 M，當然也可以由mg求出，若已知星球半徑R及表面重力加速度g，則M

（6）關于近地衛星和同步衛星的特點，由（1）式知近地衛星，線速度就是環繞速度，和其他衛星相比速度最大.同步衛星由（1）式有由于T＝24h已確定，所以ω、h、a大小也唯一確定.

……

綜上所述，（1）式是我們處理這一章問題的一個通用公式，一條線索（注意適用范圍是衛星），用（1）式可以處理本章大部分的題目，請看以下兩個例題.

解析：該題應用牛頓第二定律和萬有引力的知識來求解，設物體所在位置高度為h，重力加速度為g′，物體在地球表面重力加速度為g，則

由（1）式得

由（2）、（3）式得

所以h＝R＝6 400km.

例2.兩顆靠得很近的恒星，必須各以一定的速率繞它們連線上某一點轉動，才不至于由于萬有引力的作用而將它們吸引到一起.已知這兩顆恒星的質量為m1、m2，相距L，求這兩顆恒星的轉動周期.

解析：由萬有引力定律和向心力公式來求即可.m1、m2做勻速圓周運動的半徑分別為R1、R2，它們的向心力是由它們之間的萬有引力提供，所以

由（1）～（3）式得

代入（1）式得

一串公式串連了本章大部分知識，當然不是說背下這串公式就學好了本章，我們如果能進行這樣的歸納總結，加深理解，這個過程一定是有利于我們學習和掌握的，依據教育部考試中心考試大綱和課程標準等要求，物理科高考要考查學生5種能力：理解能力、推理能力、分析綜合能力、應用數學處理物理問題能力、實驗能力.當我們在理解、推導、歸納上述公式時，這些能力是應該可以得到提升的.

1 普通高中物理課程標準.北京：人民教育出版社，2003.