基于旋轉干涉儀模糊相位差的多假設NLS定位算法

李 騰 郭福成 姜文利

(國防科技大學電子科學與工程學院 長沙 410073)

1 引言

對非合作輻射源的無源定位技術在電子偵察、預警探測等領域具有重要應用價值，受到廣泛關注和研究[1-14]。利用長基線相位干涉儀可以得到高精度的角度信息，且干涉儀測角對信號形式的適應能力較強，因此基于干涉儀的單站無源定位技術越來越引起人們的重視[4-14]。傳統的干涉儀測角定位方法通常需要多基線解模糊[15]，因此系統復雜、設備量大且成本高昂。近年來，基于短基線測角結合長基線測相位差變化率的定位方法得到深入研究[7-9]，該方法在利用長基線性能增益的同時可以減少硬件設備量，但是對信號的連續性以及觀測平臺姿態的控制和測量都有較高要求，即要保證能夠獲得高精度的相位差變化率和姿態變化率信息。

從信息利用的角度看，通過相位差估計相位差變化率再進行定位并不會增加新的信息，反而會因為估計模型的失真而引入誤差，而直接利用原始的相位差信息應該能夠得到更好的定位性能。事實上，文獻[10-13]的研究成果已經表明了直接利用長基線干涉儀(LBI)模糊相位差定位的可行性，其基本思想是利用觀測平臺與目標之間的相對運動消除定位模糊，但是通常需要較長的時間才能實現無模糊定位。

本文針對高空或天基觀測平臺對地面輻射源定位問題，提出了基于旋轉LBI模糊相位差的定位體制，最少只需兩個接收通道即可實現快速無模糊定位。首先建立了干涉儀模糊相位差的數學模型，分析了利用干涉儀旋轉解定位模糊的基本原理，然后針對相位差周期模糊帶來的強非線性問題，提出了一種多假設非線性最小二乘(Multiple Hypothesis Nonlinear Least Square, MH-NLS)定位算法，從理論上分析了子區域寬度的選擇依據，最后在衛星應用場景下通過多個計算機仿真實驗對本文提出的定位體制和算法進行了檢驗。

2 旋轉干涉儀模糊相位差定位方法

2.1 數學模型

如圖1所示，在直角坐標系o-xyz中，T為位置固定的目標輻射源，S1和S2為安裝在觀測器上的兩個接收天線，構成1維LBI (干涉儀長度遠大于目標信號波長)，且在一個平面內以角速度w繞干涉儀中心點S轉動，利用干涉儀測量得到的相位差對觀測平臺下方的目標輻射源定位。干涉儀長度為d，目標信號波長為l,h=d/l表示基線波長比。

用xT表示目標位置矢量。在m時刻，觀測器位置矢量為xO,m，干涉儀基線單位矢量為bm，則可以得到m時刻干涉儀的相位差為

其中em為相位差測量誤差，其中表示取矢量的長度。

由于沒有解模糊的中間基線，所以實際只能測量得到處于主值區間(-p,p)內的相位差，可表示為

其中，右上標(·)a表示“模糊”，mod2p(·)表示取2p的模。

由于d?l,相對于f存在未知的整周期

m模糊，因此稱式(4)為模糊相位差觀測方程。旋轉LBI模糊相位差定位，即通過LBI旋轉過程中多次測量的模糊相位差結合觀測器位置、姿態等信息，實現對目標位置的估計。

2.2 利用LBI旋轉解定位模糊的原理

圖1 旋轉LBI定位示意圖

LBI測量得到的模糊相位差對應多個可能的無模糊相位差，而每個無模糊相位差對應一個以干涉儀基線為軸，以該相位差對應的信號入射角為半頂角的圓錐面，如圖2所示，但是只有一個為目標所在的圓錐面，在圖2中用實線表示。根據模糊周期數的不同可能有多個圓錐面，圖中畫出3個只是一個示意。在實際中，目標的位置通常滿足一定的約束條件，例如對地面目標定位時目標位置滿足地球面約束方程，在本文的分析中假設目標位于xoy平面上。單次觀測得到的多個圓錐面與xoy平面上的觀測區域相交將得到多條定位線，如圖3所示，其中只有一條為真實定位線，其他為模糊定位線。

在干涉儀轉動過程中經過3次或3次以上觀測時，每次觀測對應的真實定位線總是相交于目標位置處，而模糊定位線無法形成穩定的交點，因此利用多次觀測的模糊相位差可以實現無模糊定位。相對于文獻[10-13]中利用觀測器與目標之間的相對運動解定位模糊的方法，干涉儀的轉動可以使得各次觀測的定位線之間在短時間內產生較大差異，從而可以加速定位解模糊的過程，這就是采用旋轉干涉儀進行定位的重要原因。

由于最少只需要兩個接收通道，所以相對于傳統的LBI定位體制，該體制能夠大大減少偵察系統的硬件設備量和復雜度，降低對觀測平臺相關支撐條件的要求，并且仍然能夠利用長基線帶來的性能增益，適合應用在高空偵察平臺或衛星平臺上對地面或低空目標定位。

圖2 模糊相位差對應的圓錐面示意圖

圖3 3次觀測的定位線相交情況示意圖

2.3 相關函數特性

在實際中只能測量得到φa，考慮到相位差的周期模糊效應，可建立x關于φa的相關函數

所以雖然Cm(x)的分布具有“單脊”特性，如圖 4所示，但是相位差周期模糊效應引起的mod2p(·)運算將使得(x)的分布呈現出“多脊”特性，如圖5所示，相應地，C(x)和Ca(x)的分布分別呈現出較明顯的單峰和多峰特性，如圖6和圖7所示。

圖4-圖7給出的是干涉儀以1轉/s的速度轉動時，單次和5次觀測(觀測間隔0.2 s)的無模糊相位差和模糊相位差的歸一化相關函數分布。其中的數據在衛星平臺應用背景下生成，衛星軌道高度 600 km，目標的經度、緯度均為0°，且位于初始時刻星下點。干涉儀基線長0.5 m，目標信號頻率3 GHz。

從圖7可以看出，模糊相位差多次觀測的相關函數存在大量的局部極值，因此對于非線性最小二乘(NLS)、擴展卡爾曼濾波(EKF)等常用算法，當初值選取不當時很容易收斂到局部極值上，從而得不到全局最優解，導致定位模糊，EKF存在潛在的濾波發散問題，因此其對于初值的要求比基于批處理的非線性最小二乘算法更高；基于網格的準最大似然方法(網格法)[16,17]雖然具有多峰情況下的全局尋優能力，但是往往需要將網格劃分得足夠小才能得到較好的結果，這樣需要消耗大量的計算和存儲資源；近年來，基于粒子群優化(PSO)[18-20]的群智能算法在非線性估計領域獲得了廣泛應用，PSO方法具有一定的全局尋優能力，但是由于是基于隨機搜索策略，所以其全局尋優能力并不是十分可靠，特別是當目標函數存在大量局部極值時，其難以搜索到全局最優。

3 多假設非線性最小二乘(MH-NLS)定位算法

根據上文分析，在目標所在的區域內，多次觀測的模糊相位差的相關函數分布通常具有多個峰值，主峰對應目標位置解。若采用NLS算法直接進行目標位置估計，當初始點不在主峰附近時，很容易收斂到局部極值，導致定位模糊，而在沒有其他輔助測量的情況下通常無法獲得足夠準確的目標位置先驗信息。MH-NLS算法的基本思想是，在目標區域內選擇多個初始點，起始多個NLS估計器同時進行定位解算，只要有一個初始點落在相關函數的主峰內，其對應的估計器將迭代收斂到全局最優，那么具有最大相關函數值的估計器的輸出結果即為定位結果。

圖4 無模糊相位差單次觀測的歸一化相關函數分布

圖5 模糊相位差單次觀測的歸一化相關函數分布

圖6 無模糊相位差多次觀測的歸一化相關函數分布

圖7 模糊相位差多次觀測的歸一化相關函數分布

3.1 算法步驟

步驟1 定位初始化

將觀測區域均勻劃分為N個子區域，對于第n(n= 1 ,… ,N)個子區域，取其中心點1,n作為第n個NLS估計器的初始值；設置迭代終止條件x以及最大迭代步數K。

步驟2 對每個初始點分別進行NLS迭代計算

第n個估計器的迭代過程如下：

(1)令k=1；

(2)將Ca(k,n)在,n處 Taylor展開并保留一階近似項，按照線性最小二乘估計可得

其中

更新該估計器的相關函數值

步驟3 輸出定位結果

(1)查找相關函數值最大的估計器

(2)最終定位結果

3.2 子區域的劃分

從 3.1節中的算法流程可以看出，如果子區域的劃分過于密集，則估計器個數很多，計算量將很大；如果子區域的劃分過于稀疏，則可能沒有初始點位于相關函數的主峰內，從而可能導致沒有一個估計器收斂到全局最優，因此子區域的劃分應該在保證至少有一個初始點位于主峰內的前提下，盡量稀疏以減小計算量。

對于任意一次觀測，過干涉儀基線與目標視線的平面與xoy平面相交可得到一條直線，該次觀測的相關函數沿著該直線變化最快，不妨稱之為梯度線。梯度線與真實定位線相交于目標位置處，與各條模糊定位線也都存在一個交點，如圖 8所示，T為目標位置，T1和T2分別為梯度線與真實定位線兩側最近的兩條模糊定位線的交點。該次觀測的相關函數在梯度線上的變化規律可用圖9所示的曲線來描述，相關函數分別在T,T1和T2達到最大值，而在T和T1以及T和T2之間分別存在一個最小值點B1和B2。

圖8 梯度線與定位線相交示意圖

圖9 梯度線上的單次觀測相關函數示意圖

將式(15)和式(16)分別在q處 Taylor展開，保留一階近似項可得

根據上面的分析可以得出，對于觀測區域中的一點A，若與目標T的距離小于Rmin，則其處于各個單次觀測的相關函數的主峰內，從而必然處于M次觀測的相關函數Ca(x)的主峰內。

在沒有先驗信息的情況下，通常將觀測區域均勻劃分為多個方形子區域，并取各個子區域的中心點為各個估計器的初始值。一種極端的情況可以用圖10來描述，圖中圓形區域的圓心為目標位置，半徑為Rmin，那么該區域處于Ca(x)的主峰內，當方形子區域的寬度為Rmin時，只有在

~圖示的極端情況下，T附近的4個子區域的中心C1C4剛好都落在圓形區域的邊緣上，否則至少有一個子區域的中心落在圓形區域內。

圖10 子區域劃分時一種極端情況示意圖

因此，為了保證對觀測區域內任何位置的目標至少有一個估計器的初始值落在Ca(x)的主峰內，子區域的寬度W應該滿足

Wmin反比于基線波長比h，正比于觀測器高度h，因此，基線波長比越大或觀測器高度越低，子區域的寬度就必須越小，即子區域的劃分就必須越密集，反之子區域的劃分就可以越稀疏。

需要說明的是，對地面目標定位時，觀測區域實際上是曲面而不是平面，各個子區域也是近似方形的小曲面，因此上面的分析結果會產生細微的偏差，但是該偏差對于選擇合適的寬度以進行子區域劃分而言通常是可以忽略的。

4 仿真實驗

本節通過衛星平臺應用背景下的計算機仿真實驗對本文提出的定位方法的可行性、定位算法的性能以及相關分析結果進行檢驗。在仿真中認為目標位于地球面。

仿真場景：衛星沿赤道圓軌道運行，軌道高度600 km，目標信號頻率3 GHz，干涉儀基線長度1 m、旋轉速度1轉/s，總的觀測時間1 s，相位差觀測數據率 20 Hz。在本節的所有仿真中蒙特卡羅次數均為100次。

利用該仿真場景中的參數，根據式(20)可得Wmin=42.4 km 。

4.1 算法定位精度仿真

對于模糊相位差定位而言，如果能夠消除定位模糊，則其定位的理論精度應該與利用無模糊相位差的理論定位精度相同。設置目標經度、緯度分別偏離初始時刻星下點2.2°, 3.5°，相位差測量誤差為零均值高斯白噪聲。在不同的測量誤差情況下，將本文算法的定位誤差與無模糊相位差定位誤差的克拉美羅下限(CRLB)進行比較，得到的結果如圖 11所示，圖中橫坐標為相位差測量誤差的均方根，本文算法的定位誤差取各次仿真定位誤差的均方根。仿真中子區域寬度取W=Wmin, CRLB的推導略。

圖11 不同誤差情況下的定位精度

從圖11可以看出，在不同的測量誤差情況下，本文算法的定位精度都十分接近相應的無模糊相位差定位誤差的CRLB，說明本文算法能夠達到接近最優的定位精度，同時也證實了利用旋轉干涉儀模糊相位差可以實現快速高精度的無模糊定位。

4.2 子區域寬度的影響

為了檢驗 3.2節中關于子區域寬度分析結論的正確性，設計4種不同的仿真情況，其中相位差測量誤差都為均方根10°的零均值高斯白噪聲。

情況 1 目標位于初始時刻星下點，以Wmin為子區域寬度，按照3.2節中的極端情況劃分子區域。

情況 2 目標位于初始時刻星下點，將子區域寬度減小為 0 .5Wmin(21.2 km)。

情況 3 目標位于初始時刻星下點，子區域寬度擴大為 1 .2Wmin(51 km)，子區域的劃分使得沒有一個起始點落在以目標為中心、以Rmin(30 km)為半徑的區域內。

情況 4 目標經度、緯度分別偏離初始時刻星下點2.2°, 3.5°，子區域的劃分與情況3相同。

從情況1的仿真結果可以看出，以Wmin為寬度劃分子區域，即使在最極端的情況下，也能實現完全無模糊定位；比較情況2與情況1的仿真結果可以看出，以小于Wmin的寬度劃分子區域并不能提高定位精度，反而會因為子區域個數增加而增加計算量，事實上由4.1節中的仿真結果可知，以Wmin為寬度劃分子區域通常都能得到十分接近CRLB的定位精度，所以再減小子區域寬度已無意義；以大于Wmin的寬度劃分子區域存在著風險，因為對于某些目標，可能沒有一個起始點落在相關函數的主峰內，情況3即屬于這種情況，此時100次仿真中只有8次實現了無模糊定位，由于無模糊定位次數太少，得到的定位均方根誤差不具有統計意義，因此表 1中沒有給出；情況4與情況3的子區域寬度相同，其之所以能夠完全無模糊定位，是因為目標位置與情況3不同，此時恰好有一個起始點落在了相關函數的主峰內。

表1 不同仿真情況的定位結果

從這個仿真實驗可以得出結論，為了減小計算量并且保證對觀測區域內任意位置的目標完全無模糊定位，子區域的寬度應該選擇為Wmin。

4.3 算法性能比較

本仿真將本文算法與網格法以及 PSO方法的性能進行比較。目標經、緯度分別偏離初始時刻星下點2.2°, 3.5°，相位差測量誤差為均方根10°的零均值高斯白噪聲。

表2中的3種算法都是在PC機上用MATLAB編程實現，其中的仿真時間不具有絕對意義，與計算機的性能以及MATLAB軟件的效率等因素有關，但是可以作為各個算法計算效率的一種比較手段。

在表2中，本文算法的子區域寬度選擇為Wmin，網格法的網格寬度為本文算法的 1/4，其定位結果為各個網格點的概率加權，可以看出，雖然網格寬度為Wmin4，但是網格法的定位精度依然很差，若要得到更高的精度，需要將網格寬度進一步縮小，這樣無疑將需要消耗更大的計算量與存儲量；PSO方法采用文獻[19]中的基于慣性權重的PSO方法，也稱標準PSO方法，取粒子數300個，由于粒子數較多，算法計算量較大，但是盡管這樣，依然不能實現完全無模糊定位，這是因為相關函數存在大量局部極值，PSO方法難以進行可靠的全局尋優。PSO方法的定位均方根誤差是對 87次無模糊定位結果進行統計得到的。

從本仿真可以看出，相對于網格法和 PSO方法，本文算法能夠實現快速高精度且完全無模糊的定位。

表2 算法性能比較

5 總結

本文提出了一種利用旋轉長基線干涉儀模糊相位差的定位體制，該體制最少只兩個接收通道即可實現快速、高精度、無模糊定位。相位差周期模糊使得該定位問題的非線性很強，為了進行可靠的定位解算，提出了一種有效的多起始非線性最小二乘定位算法，從理論上分析得出了子區域寬度的選擇依據。相對于網格法以及粒子群優化方法，本文算法計算量小、解定位模糊的能力強，并且定位精度能夠達到克拉美羅下限，是解決該定位問題的一種優秀算法。

[1]Koch D B. Creating a software framework for simulating satellite geolocation[C]. IEEE SouthEast Conference,Nashville, Tennessee, USA, March 17-20, 2011: 180-184.

[2]Hang Y, Jin K C, and Lei C. Study on location accuracy of Dual-Satellite Geolocation system[C]. IEEE 10th International Conference on Signal Processing, Beijing,China, Oct. 24-28, 2010: 107-110.

[3]徐義, 郭福成, 馮道旺. 一種單星僅測TOA無源定位方法[J].宇航學報, 2010, 31(2): 502-508.

Xu Yi, Guo Fu-cheng, and Feng Dao-wang. A new satellite passive localization method using TOA measurement only[J].Journal of Astronautics, 2010, 31(2): 502-508.

[4]陸安南, 楊小牛. 單星測頻測相位差無源定位[J]. 系統工程與電子技術, 2010, 32(2): 244-247.

Lu An-nan and Yang Xiao-niu. Passive location from the combined set of frequency and phase difference measurements by single satellite[J].Systems Engineering and Electronics, 2010, 32(2): 244-247.

[5]Groot J S, Dam F A M, and Theil A. Passive emitter location with Doppler frequency and interferometric measurements[C].Tyrrhenian International Workshop on Digital Communications-Enhanced Surveillance of Aircraft and Vehicles, Capri, Italy, Sept. 3-5, 2008: 1-6.

[6]Levanon N. Interferometry against differential Doppler:performance comparison of two emitter location airborne systems[J].IEE Proceedings F Radar&Signal Processing,1989, 136(2): 70-74.

[7]王強. 基于干涉儀體制的運動單平臺無源定位技術研究[D].[博士論文], 長沙: 國防科學技術大學, 2010.

[8]鐘丹星. LBI體制運動單平臺無源定位關鍵技術研究[D]. [博士論文], 長沙: 國防科學技術大學, 2007.

[9]許耀偉. 一種快速高精度無源定位方法的研究[D]. [博士論文],長沙: 國防科學技術大學, 1998.

[10]Carlsen E C, Kolanek J C, and Sharpin D L. Airborne very long baseline interferometry and geolocation[C]. Fourth IEEE Workshop on Sensor Array and Multichannel Processing, Waltham, Massachusetts, USA, July 12-14, 2006:334-338.

[11]Struckman K. Correlation interferometer geolocation[C].IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, Albuquerque, New Mexico, USA, July 9-14,2006: 1141-1144.

[12]Rose C M. Method for single satellite geolocation of emitters using an ambiguous interferometry array[P]. United States of America, US 7436359B1, 2008.

[13]Kolanek J and Carlsen E. Precision geolocation system and method using a long baseline interferometer antenna system[P]. United States of America, US 7286085 B2, 2007.

[14]李騰, 郭福成, 姜文利. 利用旋轉多普勒的單站無源定位性能分析[J]. 宇航學報, 2010, 31(10): 2388-2394.

Li Teng, Guo Fu-cheng, and Jiang Wen-li. Performance analysis of passive localization utilizing rotational Doppler-based single observer[J].Journal of Astronautics,2010, 31(10): 2388-2394.

[15]Jacobs E and Ralston E W. Ambiguity resolution in interferometry[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1981, 17(6): 766-780.

[16]Laneuville D and Vignal H. Grid based target motion analysis[C]. IEEE Aerospace Conference, Big Sky, MT, USA,March 3-10, 2007: 1-7.

[17]Elsaesser D. Sensor data fusion using a probability density grid[C]. 10th International Conference on Information Fusion,Quebec, Que, Canada, July 9-12, 2007: 1-8.

[18]Ememipour J, Nejad M M S, Ebadzadeh M M,et al..Introduce a new inertia weight for particle swarm optimization[C]. ICCIT,09, Seoul, Korea, Nov. 24-26, 2009:1650-1653.

[19]Shi Y and Eberhart R. A modified particle swarm optimizer[C]. The 1998 IEEE International Conference on Evolutionary Computation Proceedings, Anchorage, AK,USA, May 4-9, 1998: 69-73.

[20]Kennedy J and Eberhart R. Particle swarm optimization[C].IEEE International Conference on Neural Networks, Perth,WA, Australia, Nov. 27-Dec. 1, 1995, Vol.4: 1942-1948.