物流配送網絡節點服務客戶飽和度模型構建

張 旭 鳳

（1.北京工業大學，北京市 100124；2.北京物資學院，北京市 101149）

一、引 言

隨著經濟的發展，產品的流通范圍越來越大，鏈條越來越長，物流企業為了更好地為貨主企業開展物流服務，需要不斷擴大自己的物流配送網絡。在物流配送網絡的生成和運作過程中，特別是隨著服務客戶數量的增加，物流配送節點所提供的服務無法滿足客戶的要求，在這種情況下，意味著目前的節點已經達到了服務極限。在物流企業的實際運作過程中，一般會增加新的節點以滿足客戶要求，即建立新的配送中心。由此可見，在物流配送網絡的擴展過程中，對于基于客戶服務水平的物流配送節點飽和值的研究是非常重要的問題。

整個物流配送網絡包括配送節點的實體網絡和客戶網絡。對于一個第三方物流企業而言，物流服務的質量與其構建的物流服務的網絡是密不可分的。由于配送中心服務質量的信息會在客戶網絡之間進行傳播，良好的服務口碑能夠提高客戶對企業提供的物流配送服務的認同度，從而吸引更多客戶選擇該企業。但是當整個網絡中的客戶達到一定規模時，物流企業需要擴大自己的物流實體網絡，即需要新建配送中心以滿足客戶要求。

在病毒傳播模型中，一般用節點表示疾病傳染或感染的個體，如果兩個個體之間可以通過某種方式直接發生傳染與被傳染關系，就認為這兩個個體之間存在連接，這樣就得到了病毒傳播網絡的拓撲結構，進而可以建立相關模型來研究這種傳播行為。將這種研究疾病傳播的方法借鑒到對配送服務信息的傳播網絡研究中，將客戶網絡的增長過程看成是服務信息在客戶之間的傳播，用節點表示已接受該配送中心服務的客戶，如果兩個節點之間具有通過某種方式完成的傳播關系，則可以認為兩者之間存在連接，進而得到物流服務信息傳播網絡的拓撲結構與病毒傳播網絡拓撲結構具有同樣特性的結論。

因此，本文以經典的SIR模型為基礎，通過建立物流配送網絡節點的飽和度模型，確定物流配送網絡中節點的分支條件，并確定物流配送網絡節點飽和度的影響因素。

二、國內外文獻綜述

經典的SIR模型最早是由康帕斯和麥肯德里克（Kermark&Mckendrick，1927）建立的，用來描述黑死病在倫敦的傳播規律，對于得病治愈后獲得免疫力而不能再次被傳染的傳染病類型，用SIR模型表示。國內外的學者對SIR模型的相關臨界值進行了研究，并將其應用在不同領域，這在一定程度上對SIR模型的理論進行了深化，并取得了許多顯著成果。王文迪（Wang Wend）[1]給出了平衡點的穩定性，研究了疾病持續的問題；1979年庫克（Cooke）[2]得到了帶有感染力的SIR模型；伯萊塔和匡（Beretta&Kuang）[3]發展了高次超越多項式穩定性方法；查淑玲[4]提出當健康者的比例大于有效傳播效率時，提高衛生水平和傳染病的治愈率可以控制疾病的蔓延。此后，夏立標[5]考慮了一類短暫免疫疾病的特點，通過建立具有時滯的SIR模型來研究無病平衡點；王建軍、張晉珠、靳禎[6]建立了一類具有飽和發生率的傳播模型，對確定疾病是否流行的閾值進行了研究；在此基礎上，夏承遺、馬軍海、陳增強[7]建立了有傳染媒介因素的SIR模型；續婷、朱烽[8]對有效傳播效率的臨界值進行了研究。

現階段，學者們將SIR模型很好地應用在了醫學、輿論傳播、計算機病毒傳播和經濟等方面，解決了相應領域的許多問題。其中，在醫學領域，李、胡、王（Li X、Hu Z、Wang W）等人[9]、[10]、[11]、[12]介紹了一種以治療資源有限為前提的SIR模型；在預防和控制傳染疾病的模型研究中，盧、池（Lu Z、Chi X）等人[13]建立了以人口數量恒定為前提的SIR模型；朱璣、李維德、朱凌峰[14]研究了疾病滅絕的閾值條件。為了使模型能夠更好地在現實的疾病控制中應用，一些學者在研究過程中引入了真實數據，使SIR模型更加具有實際意義。霍闊、李世霖[15]采用墨西哥真實病例數據；陳端兵等人[16]引入已有的H1N1流感病毒數據。為研究疾病傳播的閾值，運用 SIR 模型的分支過程理論[17]、[18]、[19]和SIS模型的平均場理論[20]、[21]，分別得到了疾病的傳播閾值；韓華、馬愛娜、趙夏、黃樟燦[22]提出了一種具有遠程感染機制的傳染病模型SIRS，求解得出在均勻網絡上的傳播臨界值和最終感染密度的精確值。在輿論傳播方面，隨著SIR模型在病毒傳播方面的應用，人們發現在社會網絡中，謠言的傳播與病毒的傳播具有相似的動力學特征，所以學者們將SIR模型應用于輿論傳播，以找出控制這種輿論傳播的途徑。楊、吳、周（Yang H X、Wu Z X、Zhou CS）[23]提出如果個體間的觀點相差太大，則兩者之間的聯系就可能減少的觀點；在此基礎上，郭強等人[24]發現了在無標度網絡上的輿論傳播行為更容易達到一致；曾祥平等[25]建立了一個基于元胞自動機的網絡輿論激勵模型。在計算機病毒傳播方面，珂芬特（Kephart）等人[26]在1991年第一次用傳染病學數學模型對計算機病毒的傳播進行了初步分析；在此基礎上，馮麗萍等[27]提出了一種改進的具有預先免疫措施的SIR計算機病毒傳播模型。在經濟方面，馬芳等[28]重點考察購買行為在人際圈中的傳染擴散，并建立了四類數理模型；秦效宏、羅丙能[29]將營銷學原理和傳播臨界值理論相結合尋找擴散閾值減小的方法。

但是，SIR模型在經濟領域的應用，相對于醫學和輿論傳播、計算機病毒傳播這三方面的應用還不夠成熟，而在物流領域尚無應用。通過研究發現物流網絡屬于復雜網絡，因此，將SIR模型應用在物流領域將具有很大的發展空間。因此，利用SIR模型與方法定量研究物流網絡節點形成機理及規律，并以此來指導物流企業規模擴張和物流行業發展成為目前急需解決的重要課題。而配送網絡節點服務質量傳播過程與病毒傳播特性相似，符合病毒傳播機理與規律。利用SIR模型對配送網絡節點形成機理和規律進行量化研究，成為研究配送網絡節點形成機理和規律的重要方法。

三、物流配送網絡節點服務客戶飽和度建模假設

在以前的研究中我們了解到，一個包含物流實體網絡和客戶網絡的物流配送網絡符合無標度網絡的演化特性，[30]同時物流服務信息傳播網絡的拓撲結構與流言傳播、病毒傳播網絡拓撲結構具有同樣的特性。隨著配送實體網絡服務質量的提高，良好的服務質量口碑會在客戶之間進行傳播，經過一段時間后，得到客戶對企業提供的物流配送服務的認同，從而吸引更多客戶選擇該企業為其服務。隨著時間的推移，配送實體網絡服務的客戶會越來越多，當客戶增加到一定程度后，配送實體網絡的服務水平和服務效率會無法滿足客戶的要求，客戶就會選擇其他的企業開展物流服務，因此在這個網絡中客戶網絡呈現動態變化的特性。在物流企業的實際運作過程中，為了能夠留住這些客戶，物流企業往往會選擇建立另一個配送節點來分擔部分原有節點的業務，即通過擴大網絡來增加物流配送實體網絡的服務能力。在某個局域的配送網絡中，配送節點服務的信息不斷在客戶之間傳播，由于傳播過程與流言傳播、病毒傳播的過程相似，因此，可以通過建立SIR模型的方法來找出局域配送實體網絡配送節點所服務客戶的飽和值。

根據前面的論述，在建立配送節點服務客戶飽和度模型時需要符合以下假設：

假設1：物流配送網絡符合無標度網絡的演化特性；

假設2：在一個局域的網絡中物流服務質量信息不斷在客戶之間進行傳播；

假設3：物流配送網絡不斷擴展；

假設4：遺失的客戶經過一段時間后，還有可能成為該區域的服務客戶。

四、物流配送網絡節點服務客戶飽和度模型構建

經過前面的論證得知，物流服務信息的傳播特性與疾病傳播特性有相似的原理和結構，因此借鑒疾病傳播模型來構建物流配送網絡服務客戶飽和度模型。物流配送網絡中物流服務信息的傳播過程遵循的是易染（S）→感染（I）→免疫（R）的SIR模型。將物流配送網絡的SIR分別定義為：S（客戶網絡中的潛在客戶，簡稱潛在客戶）、I（客戶網絡中已經接受配送網絡服務的客戶，簡稱服務客戶）、R（對目前配送網絡的服務不滿意，成為這個配送網絡的遺失客戶，簡稱遺失客戶）。本文應用SIR模型從客戶服務質量傳播的角度對配送網絡服務客戶的飽和度進行建模，得出在物流服務信息傳播過程中，何時該配送網絡所服務的客戶達到飽和，從而需要新建配送節點以滿足客戶的需求。

將無標度網絡病毒的傳播機理和配送網絡的特性綜合考慮，由于客戶的生成過程符合無標度網絡的生成規律，即物流服務質量的信息在無標度網絡中進行傳播。利用無標度網絡病毒傳播機理中的傳播動力學來研究一個配送中心所服務客戶的飽和值。

由于一個隨機選取的配送節點傾向于連接關鍵點或連接度大的配送中心，因此節點度大的配送中心更容易開拓新的客戶，從而導致比均勻網絡上更快的網絡拓展速度。由于配送網絡不是簡單、均勻的網絡，考慮非均勻網絡和配送網絡的傳播特性，建立如下模型。[31]、[32]、[33]

n為網絡中節點的最高度值，π為配送中心的服務信息在客戶間的有效傳播速率，γ為潛在客戶轉向服務客戶的概率，δ為服務客戶轉向遺失客戶的概率，k為節點的度。

隨著時間的推移，配送實體網絡服務的客戶會越來越多，當客戶增加到一定規模后，配送實體網絡的服務水平和服務效率會無法滿足客戶的要求，會不斷有顧客流失。在這個時候已經接受配送中心服務的客戶密度最終會達到最大，這時意味著配送中心對服務客戶的服務能力達到了飽和狀態，此時根據以上敘述，可以得出已經接受配送中心服務的客戶密度在一定時刻會達到飽和，即存在一個最大的Imax，而此時則令：

令已經接受某配送中心節點服務的度值為k的客戶的密度為ρk。由實際情況可知，ρk≥0，則可取其中進一步推導出

式中，ρk表示接受某配送中心服務的度為k的客戶的飽和值。

將配送中心服務的所有客戶節點加和，就得到了配送中心服務不同節點度的客戶的飽和值。

五、結 論

本文通過對無標度網絡中病毒的傳播機理和物流配送網絡中服務質量信息在客戶之間傳播機理相似性的論證，將病毒傳播模型應用到物流配送網絡中服務質量的傳播之中，試圖解決配送節點服務客戶的飽和度問題。文中以無標度網絡的SIR模型為基礎，改變了經過一段時間后原有模型中病毒移除率為100%的假設，重新定義了在服務質量信息傳播中的相關變量，在包含所有不同節點度的客戶情況下，構建配送節點服務客戶飽和度的理論模型。

研究發現，以物流服務質量信息傳播為視角，物流配送網絡配送節點服務客戶的飽和度受到服務質量傳播率、網絡規模及網絡類型的影響，隨著傳播率的加大，配送節點服務客戶的飽和度會增加，隨著網絡節點平均度數的增加，配送節點服務客戶的飽和度也會增加。

[1]Wang Wend，Mulone G．Threshold of Disease Transmission in a Patch Environment[J]．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2003，285（1）：321-335．

[2]K．Cooke．Stability Analysis for a Vector Disease Model．Rocky Mount.J.Math，1979（7）：253-263．

[3]E．Beretta，Y．Kuang．Geometric Stability Switch Criteria in Delay Differential Systems with Delay Dependent Parameters[J]．SIAM J.Math.Anal，2002，33：1144-1165．

[4]查淑玲．傳染病的SIR模型[J]．山西中醫學院學報，2003，2（4）：2-3．

[5]夏立標．帶時滯的傳染病動力學模型的平凡解分析[J]．大慶師范學院學報，2008，5（28）：68-70．

[6]王建軍，張晉珠，靳禎．具有飽和發生率的SIR模型的持久性和穩定性[J]．中北大學學報，2008，6（29）：480-485．

[7]夏承遺，馬軍海，陳增強．復雜網絡上考慮感染媒介的 SIR 傳播模型研究[J]．系統工程學報，2010，6（25）：818-823．

[8]續婷，朱烽．BA無標度網絡中的SIR模型[J]．數學的實踐與認識，2011，11（41）：254-256．

[9]Li X，Li W，Ghosh M．Stability and Bifurcation of an SIR Epidemic Model with Nonlinear Incidence and Treatment[J]．AppliedMathematical and Computation，2009，2（10）：141-150．

[10]Hu Z，Liu S，Wang H．Backward Bifurcation of an Epidemic Model with Standard Incidence Rate and Treatment Rate[J]．Nonlinear Analysis：Real World Applications，2008，9：2302-2312．

[11]Wang W．Backward Bifurcation of an Epidemic Model with Treatmen[J]．Mathematical Biosciences，2006，201：58-71．

[12]Zhang X，Liu X．Backward Bifurcation of an Epidemic Model with Saturated Treatment Function[J]．J Math Appl，2008，348：433-443．

[13]Lu Z，Chi X，Chen L．The Effect of Constant and Pulse Vaccination on SIR Epidemic Modelwith Horizontal and VerticalTransmission[J]．Mathematical and Computer Modeling，2002，36：1039-1057．

[14]朱璣，李維德，朱凌峰.基于SIR傳染病模型的不同控制策略比較 [J]．北華大學學報（自然科學版），2011（6）：265-269．

[15]霍闊，李世霖．甲型H1N1流感傳播的SIR模型研究[J]．湖南工業大學學報，2010（7）：40-42．

[16]陳端兵，黃晟，尚明生．復雜網絡模型及其在疫情傳播和控制中的應用研究[J]．計算機科學，2011（6）：118-121．

[17]BarthelemyM，BarratA，Pastor-Satorras R，et al．Velocity and hierarchical spread of epidemic outbreaks in scale-free networks[J]．Physical Review Letters，2004，92：178-701．

[18]Manojit Roy，Rober D Holt．Effects of Predation on Host-pathogen Dynamics in SIR Models[J]．Theoretical Population Biolo-gy，2008（73）：319-331．

[19]Li Xuezhi，Li WenSheng，Mini Ghosh．Stability and Bifurcation of an SIR Epidemic Model with Nonlinear Incidence and Treatment [J]．Applied Mathematics and Computation，2009，210：141-150．

[20]Su Rui，He Daihai．Using Content 1．5 to Analyze an SIR Model for Childhood Infectious Diseases [J]．Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2008（13）：1743-1747．

[21]Zhang Xun，Liu Xianning．Backward Bifurcation and Global Dynamics of an SIS Epidemic Model with General Incidence Rat and Treatment[J]．Nonlinear Analysis，2009（10）：565-575．

[22]韓華，馬愛娜，趙夏，黃樟燦．具有遠程感染機制的SIRS 傳播模型及仿真[J]．武漢理工大學學報，2010（2）：141-145．

[23]Yang H X，Wu Z X，Zhou C S，et al．Effects of Social Diversity on the Emergence of Global Consensus in Opinion Dyna-mics[J]．Phys Rev E，2009，80：46-108．

[24]Guo Q，Liu J G，Wang B H，et al．Opinion Spreading with Mobility on Scale-free Networks[J]．Chin Phys Lett，2008，25（2）：377．

[25]曾祥平，方勇，袁媛，楊玲，肖志宇．基于元胞自動機的網絡輿論激勵模型[J]．計算機應用，2007，11：2686-2688．

[26]Kephart JO，White SR．Directed Graph Epidemiological Modelof Computer Viruses[M]//Proceedings of the 1991 IEEE Symposium on Security and Privacy．Washington DC：IEEE Computer Society，1991：343-359．

[27]馮麗萍，王鴻斌，馮素琴．改進的SIR計算機病毒傳播模型[J]．計算機應用，2011（7）：1891-1893．

[28]馬芳，晁鋼令．基于SIR模型的消費者購買行為人際擴散研究[J]．現代管理學，2011（6）：92-112．

[29]秦效宏，羅丙能．復雜網絡理論在企業品牌營銷中的應用研究[J]．中國市場，2010（18）：49-50．

[30]張旭鳳，張永安．物流配送網絡的無標度網絡特征研究[J]．物流技術，2011，30（7）：97-100．

[31]Diekmann O，Heesterbeek J A P．Mathermatical Epidemiology of Infectious Diseases：Model Building Analysis and Interpretation[M]．New York：John Wiley and Sons，2000：79．

[32]Anderson R M，May R M．Infectious Diseases in Humans[M]．Oxford：Oxford University Press，1992：57．

[33]Moreno Y，Pastor Statorras R，et al．Epidemic Outbreak in Complex Heterogeneous Networks[C]．Eur：Phys．J．B，2002，26：521-529．