一種非最小相位系統控制方法

孟 香

(太原科技大學團委，太原030024)

非最小相位系統是控制工程中常見的一類對象[1-3]，由于傳遞函數存在負零點，非最小相位系統的階躍響應存在負調，其負調形式和負零點的個數相關[3]:若系統存在奇數個負零點，則系統的階躍響應首先將走向設定值的反方面再返回;若存在偶數個負零點，則系統的階躍響應在跟隨設定值方向一段時間后再走向設定值的反方面然后返回。

對于非最小相位系統的控制，存在的難題是負調幅值和調節時間存在耦合關系[4]，即抑制負調幅值會延長調節時間，采用常規的線性控制器很難折衷兩者之間的競爭關系。對于這類對象的控制，先后曾采用過不同的控制方法，如:二自由度控制[5]、預測控制[6]、滑?？刂芠7]等。近年來，一些文獻提出了基于智能控制技術的非最小相位系統控制方法[8-10]，取得了一定的效果。這些方法在工程實施中或多或少存在一定的不足。

本文采用一種非線性控制方法對非最小相位系統進行控制。利用文獻[11]中所提的電容結構形式構造非線性控制器。該控制器在狀態空間上旋轉，并使旋轉角和系統誤差狀態相關聯，這一方法可以非常簡潔、有效地控制非最小相位系統。

1 控制方法

利用電容極間電場作用和控制作用的相似性，構造一種非線性函數[11]:

式(1)中:參數e0表示電容兩極間距，用來限定控制范圍，當|e|＞e0時，則采用截取方式e=e0·sign(e)進行處理;U0表示電容兩極的電壓，用來調整控制量幅值;參數m用來調整非線性函數的特征，當m=1時，式(1)為線性函數。

利用函數式(1)對常規PID控制器進行修正，即可形成一種非線性控制器:

式(2)由獨立的三個項組成:ep為控制誤差、ei為控制誤差的積分、ed為控制誤差速率，每一項都采用式(1)的函數結構形式，因此，式(2)包括9個調試參數。為了減少參數個數，考慮上述電容結構在狀態空間(如相平面)上旋轉，使電容結構的作用分配到各狀態軸上(如圖1)，則調試參數可以大為減少。

圖1 電容結構在相平面上的旋轉Fig.1 Rotation of capacitance structure on the phase plane

在圖1的相平面中，假設電容結構旋轉θ角，則e軸和E軸的狀態對應關系為:

將式(3)代入式(1)得:

式(4)中，E0=ep0cosθ+ed0sinθ、ep0和ed0是各狀態量最大值，UE0=U0×E0為電容結構的電壓值。顯然，式(4)是一個非線性PD控制器，它通過一個電容結構對狀態量e、ed同時提供約束，使控制參數大為減少。同樣，若狀態量選擇為e、ei，則電容結構形成一種非線性PI控制器。

式(4)中，旋轉角θ可以按照控制調試的經驗準則來確定:當系統誤差較大，控制系統主要考慮的是盡快減小誤差，而對系統穩定性的考慮可以適當放寬，這時應加大系統的控制量;而當系統誤差較小時，控制在誤差歸零之前的一段時間，應提前加入制動的控制量以防止系統超調。

按照這一思想可以建立如下的旋轉角θ和誤差狀態的聯系:

實際上，式(5)是將系統的控制誤差e映射為圖1中的旋轉角θ，其中，θmin為最小誤差emin所對應的旋轉角;θmax為最大誤差emax所對應的旋轉角，emin通常為0，emax為最大誤差。

在參數調試時，通常emax根據實際設備情況將emax固定為一個值，emax不需要很精確，只要保證系統大部分的誤差狀態e小于emax即可。若e＞emax，則采用如下的截斷處理:

系統的控制性能主要通過θmax、θmin的調試來確定。

對于非最小相位系統的控制器設計，文獻[4]提出一種通過改變負零點個數，進而改變負調類型的方法來抑制負調幅值。這一方法可以很方便地利用旋轉電容結構來實現:當旋轉角θ＜0時，顯然，電容結構提供一個負零點;而當θ＞0時，電容結構提供正零點?？梢姡眯D角θ的變化，電容結構可以給出適合非最小相位系統所需的控制率。

2 仿真示例

下面通過仿真測試本文所提方法的控制性能，仿真對象為文獻[12]所給出的水輪機系統，其傳遞函數為:

式中:Ty為接力器緩沖時間常數，Tw為水流慣性時間常數，Tα為發電機慣性時間常數，α為發電機負荷自調整系數。

顯然，上述水輪機系統是一個典型的非最小相位系統，具有奇數個負零點。

令水輪機系統模型式(7)中的參數[12]為:Ty=0、Tw=0.8、α=0.2、Tα=0.96，利用遺傳算法和模擬退火形成一種混合控制策略[12]，整定得到如下的PID控制參數:

下面給出電容結構的控制效果。先不考慮電容結構的旋轉，利用式(1)對線性控制器(8)進行非線性修正，按照文獻[11]，式(1)的參數選擇在線性PID的控制參數(8)的基礎上進行微調。通過仿真，參數選擇如下:

上述參數中，e0、U0、m分別為對應維的電極間距、電壓以及非線性特征參數。其中，參數e0取一個估算值即可，參數m根據控制所需的非線性特點來選定，隨著m的不同，參數U0需要作相應的調整。式(9)的控制效果見圖2，相應的控制指標:在線性PID控制下，單位階躍響應的負調值約為－0.41，而電容結構 PID控制下的負調值約為－0.263;兩者的超調量相同，其峰值均為1.04;線性PID的調節時間約為5.5 s，而電容結構PID調節時間約為6 s.

圖2 基本形式的電容結構的控制效果Fig.2 Control effect on the basic form of capacitance structure

從總的效果來看，電容結構PID的控制效果要比線性PID的控制效果略好些。

進一步考慮旋轉電容結構。將式(9)中的誤差電容結構和微分電容結構合并為旋轉電容結構，積分電容結構仍保持為單獨的結構。旋轉電容結構的狀態量、控制作用分別為式(3)、(4)，旋轉角和狀態量的對應關系取為式(5)。

在式(9)的基礎上，旋轉電容結構的參數選擇為:

旋轉電容結構:

這里，為了限制旋轉電容結構輸出的控制量，對電極間距參數E0進行了截取處理。

旋轉角和狀態的對應關系按如下確定:由于在負調階段，誤差e大于設定值，因此取emin=0、emax=r，r為設定值;對應的旋轉角為θmin=0、θmax通過調試確定為24°，采用式(5)計算旋轉角，在負調階段有θ＜0，而在其它時段有θ＞0.可見，電容結構的旋轉能夠方便地實現文獻[4]所提出的通過改變負零點個數從而抑制負調的方法。

積分電容結構不參與旋轉，可通過調試其參數重新選擇。

積分電容結構:

旋轉電容結構的控制效果如圖3所示，其具體的控制指標如下:階躍響應的負調幅值為－0.18，超調幅值為1.02，調節時間約為5 s.

圖3 旋轉電容結構的控制效果Fig.3 Control effect on the rotating capacitance structure

電容旋轉結構可以通過簡單的旋轉角度的調整來適應非最小相位系統的控制要求，因此，其控制效果要比非線性控制式(9)的效果要好。

4 結論

本文采用一種非線性控制方法對非最小相位系統的控制進行了討論。利用電容電場作用和控制作用的相似性構造一種非線性函數，進而利用這一函數對線性PID控制器進行非線性修正;利用電容結構在空間的旋轉形成一種適合非最小相位系統的控制方法。通過仿真表明，所提的控制方法非常靈活，可以根據被控對象的特性需要構造針對性的控制策略，并且其參數調試和常規PID控制相似，易于在工程中使用。

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