利用懸臂梁內力圖規律繪制剛架的內力圖

王淑琴

(甘肅工業職業技術學院，甘肅天水 741025)

可以說準確快速地繪制出靜定剛架的內力圖是結構力學學習中的一個基本功，同時也是令師生雙方都感到頭疼的一個難點。大多數學生就是由于靜定剛架的彎矩圖沒有很好掌握，給后續結構位移計算及力法的學習帶來困難。

筆者認為剛架內力圖難以掌握的原因有以下方面:剛架一般是由許多橫豎直桿組成，桿件數目多。內力的計算如果沿用一般教材介紹的截面法，計算繁瑣速度慢，容易出錯。第二個原因是材料力學中接觸到的梁多數是水平直桿，只要區分上側受拉還是下側受拉即可。但是剛架彎曲方向多變、桿件受拉側不易準確判斷，所以令多數初學者感覺眼花繚亂、無從下手，從而導致多數學生對剛架內力圖的繪制望而生畏。本文介紹一種利用懸臂直梁的內力圖特點應用于剛架內力的計算和內力圖的繪制方法。

1 掌握本法需要事先掌握的規律和技巧

1.1 要快速繪制剛架內力圖首先需要掌握規律法(簡易法)計算直梁內力的方法

直梁內力圖規律:梁內任一橫截面上的剪力等于該截面一側與截面平行的所有外力的代數和，繞截面順轉的外力產生正剪力，反之產生負剪力;梁內任一橫截面上的彎矩等于該截面一側所有外力對該截面形心的力矩的代數和。至于剛架彎矩圖，土木工程要求畫在受拉側所以彎矩的符號已不重要，關鍵要判斷出桿件哪一側受拉。

1.2 判斷桿件受拉側的簡便方法——懸臂梁法

把所計算的截面固定起來，另一側的支座去掉，代替以支座反力(計算截面直桿的一側就變成懸臂梁)。將每種荷載單獨作用于該梁，觀察梁的變形情況來判斷哪一側受拉，受拉側即為凸出的一側。對于不同側受拉力矩給予相反的符號。多種荷載同時作用時彎矩的數值等于各荷載單獨作用于懸臂梁時對該截面產生的力矩之和。表1給出懸臂直梁在常見荷載作用下固定端的內力值及固定一端的截面受拉側的判斷，希望對初學者有幫助。

說明:如果所受荷載與圖中反向，則剪力符號與表1中相反。彎矩符號根據實際變形判斷出受拉側。

2 實例應用

1)如圖1所示簡支剛架，將剛架在剛結點C，D處截開可將該結構分成AC，DB，CD三段。AC，DB就變成圖1a)，圖1b)懸臂梁，把剛連接變成固定端支座。即將靜定梁分為幾段直梁，繪出直梁的彎矩圖匯總于剛架即得剛架彎矩圖。

由平衡方程得:

先計算豎桿:AC段，以C截面為界向下部分為直桿C截面的彎矩剪力可用以上規律直接看出QCA=－2×6=－12 kN(因為CA上的均布荷載繞C截面逆時針轉所以取負號)。

表1 懸臂直梁在常見荷載作用下固定端的內力值及截面受拉側

圖1 簡支剛架

MCA=2×6×3=36 kN·m。C截面彎矩就等于C截面以下部分荷載對該截面產生的力矩之和，固定C截面觀察AC段的變形可判斷出是左側受拉。該段的內力圖等同于圖1a)懸臂梁，因為C處的剛連接與固定端支座的約束性質相同，所以今后對于直桿部分都可將剛結點變成固定端，將所計算部分改造成懸臂梁，只要熟悉了懸臂梁的內力圖，剛架的圖也就不難了。

按此法，QDB=12 kN，MDB=12×6=72 kN·m(右側受拉)。

對于橫梁CD段的C截面和D截面的彎矩就可利用剛結點平衡原理∑MC=0，如圖1c)所示。MCD=MCA=36 kN·m(上側受拉)。

∑MD=0，如圖1d)所示。

MDC=12×6－12=60 kN·m(上側受拉)。

從CD桿的C截面切開看AC段，與C截面平行的外力為FAY=16 kN，且繞C截面順轉所以可得QCD=16 kN;同理，D截面切開看DB段，與D截面平行外力為FBY=24 kN，且繞D截面逆時針轉動。故有QDC=－24 kN。只要所取脫離體為直桿，都可用以上方法計算內力，判斷符號。運用由梁荷載集度、剪力、彎矩三者的微分關系確定的內力圖規律即可作出內力圖(見圖2)。CD段的彎矩圖要用區段疊加法繪出。

圖2 內力圖

2)再如以下三鉸剛架，也可利用以上方法作出彎矩圖(剪力圖從略)。先計算支座反力(反力方向如圖2所示)。

FAY=60 kN(↓)。

FBY=60 kN(↑)。

FAX=90 kN(←)。

FBX=30 kN(←)。

由于只繪制彎矩圖，故只需計算出水平反力即可。

以DE兩剛結點為界將剛架分為AD，DE，EB三段。首先計算豎桿DA，EB。兩豎桿的內力計算如圖3a)所示。AD段彎矩圖的繪制可參照圖3a)，按照荷載分解成圖兩種情況，彎矩圖按照兩圖疊加。受拉側的判斷可根據圖示懸臂梁的變形情況。

圖3 三鉸剛架內力分析圖

MDA=20×6×3(左拉)－90×6(右拉)= －180 kN·m(右側受拉)。

MEB=30×6=180 kN·m(右側受拉)。

根據剛結點D(見圖3c))、剛結點E(見圖3d))的平衡可得:

MDC=180 kN·m(下側受拉)。MEC=180 kN·m(上側受拉)。

根據內力圖規律繪出最后彎矩圖(見圖4)。

3)剛結點彎矩圖傳遞規律。簡支剛架或三鉸剛架一般先計算豎桿的彎矩，再通過結點的平衡將彎矩傳遞至橫梁。所以如果熟悉剛結點彎矩傳遞規律，橫梁部分不用計算，就可直接得出結果，從而收到事半功倍的效果。

圖4 三鉸剛架彎矩圖（單位：kN·m）

a.兩桿剛結。剛結點彎矩可直接傳遞，受拉側若一端為內側，另一端亦為內側;若一端為外側，另一端亦為外側，見圖5。b.多桿剛結。桿端彎矩與力偶荷載代數和等于零(半鉸接不影響彎矩傳遞)。

圖5 兩桿剛結

對于懸臂剛架，如圖6所示剛架，可在B，C剛結處將剛架分為AB，BC，CD三段。AB段只要計算出A支座反力偶矩MAB，應用以上方法可快速繪出彎矩圖。

圖6 多桿剛結

4)鉸接點處。鉸接點彎矩為零(鉸側有集中力偶作用時，該截面彎矩等于該力偶值)。

3 結語

總結以上作內力圖的方法如下:

1)先固定剛結點，以剛結點為界將剛架分解成若干直桿;

2)用規律法計算懸臂直桿部分的桿端內力;

3)利用剛結點的平衡，將結點處的彎矩傳遞至其余桿端;

4)繪出每段梁的內力圖，最后合成為剛架的內力圖。

在教學實踐中證明只要作一定量的習題練習這種方法很容易被學生掌握。

[1] 陳大堃，沈倫旭.建筑力學[M].上海:高等教育出版社，1990:207.