體操團體賽隊員選派問題研究

張煒 袁駔 葉燕清 賈祥 戴琪瑋

（國防科學技術大學信息系統(tǒng)與管理學院 湖南長沙 410072）

中國體育健兒在各類賽事中積極拼搏，為國爭光。作為運動隊的管理者，在日常訓練中可以統(tǒng)計各位運動員的訓練成績，得到運動員的成績分布律。在參加特定比賽時，如何組建具體的最優(yōu)參賽陣容，尤為重要。對這一問題，王磊建立規(guī)劃模型，并通過仿真來估計奪冠概率；唐建國將這個問題轉化為動態(tài)規(guī)劃來求解；劉萍等建立兩級目標函數(shù)，加權轉化為單目標規(guī)劃模型進行分析；杜欣等首先確定最優(yōu)目標，然后尋找?guī)追N評定條件，進行優(yōu)先排序，再根據(jù)排序后的約束條件進行篩選，最終得出最佳陣容；張雨等利用整數(shù)規(guī)劃求解問題，并且利用隨機模擬取值的辦法，估計奪冠的把握。在問題的建模和求解分析上，這些研究都很成熟，但是都缺乏對所選方法合理性的分析。本文將充分討論這個問題的各種解法，確定合適的策略和模型。

1 問題描述

現(xiàn)假設某屆世界體操錦標賽團體決賽有個項目（例高低杠項目）組成，共有支隊伍參賽。每個隊至多有名運動員可以報名，每一個項目可以有名選手參加，取這名運動員的成績作為該隊在該項目上的有效得分。每個代表隊的總分是所有參賽選手所得有效分之和，總分最高的代表隊為優(yōu)勝者[6]。某支代表隊的各個隊員在各個項目上的得分分布律已知，那么該如何組合最優(yōu)陣容。

假設運動員出場順序不影響團隊的比賽成績。每個運動員可以參加任意一項比賽項目，并且參加項目數(shù)量不受限制。比賽時所有運動員都可以正常參賽，不受疾病、心理等因素影響。

對決策問題，可以依據(jù)期望策略，最樂觀策略，最悲觀策略等準則。本文認為，利用最悲觀策略組建陣容去參加比賽和沖擊冠軍，過于保守，是不合適的。因而選取期望準則和最樂觀準則兩種策略。

這個問題的目標應是陣容參賽的得分最高。假設所有運動員參賽項目不受限制，當參賽隊伍在各個項目上獲得的有效分最高時，該陣容總分最高，那么確定最優(yōu)陣容就轉化成在特定策略下，確定各個項目得分最高的組合，進而得到最優(yōu)陣容。

設參加某個項目的陣容中有參賽隊員 i(i=1,…,n)，該隊員的分布律記為，則該參賽隊員的期望得分，最樂觀策略下得分表示 k個實數(shù) lu相加、相乘。

2 模型

對這個問題的分析，有兩種方法。本文將對同一個問題，分別運用這兩種方法解決。事實上，這兩種方法是等效的，最后將給出證明。

2.1 總體分布律法

最直接也最嚴密的思路是根據(jù) m選 n的原則，排列組合出參賽隊伍在各個比賽項目上的陣容（在一個項目上共有種組合），根據(jù)各個選手的得分分布律，可計算出該套陣容在該項目上的有效分分布律。根據(jù)分布律，利用兩套準則，只需在各個項目上分別比較套陣容的 E和 M，選擇最大值，對應在該項目上的理想組合，綜合即得最優(yōu)陣容。模型如下：

選擇隊員 i1,…,in組成一套陣容參加某個項目的比賽，則這套陣容的總體有效分分布律為

在期望策略下有：

在最樂觀策略下有：

具體操作步驟如下：

步驟1：從全部運動員中不重復地選擇n個運動員。

步驟2：針對某個項目，依次從n個運動員得分分布律中選擇一個得分和對應概率，計算總體分布律的其中一項

步驟3：計算各個總體分布律的有效分期望值和最大值。

步驟4：所有分布律中有效分期望或最大值最大的陣容，即為該隊在該項目上的最佳陣容。

2.2 個人分布律解法

按總體分布律解法計算，是通過對陣容總體分布律進行相關計算得到結果。雖然思路清晰直接，但是計算量過于龐大。若換種角度來處理，可首先根據(jù)個人得分分布律，計算各運動員在各個項目中的期望得分、最高得分，再根據(jù)這些得分，去確定各個策略下，有效分最高的陣容。參賽隊員i的期望有效分記為 Ei，最高有效分記為 Mi。

表1 運動員1、2、3組成的陣容參加自由體操的有效分總體分布律

表2 運動員1、2、3的個人分布律及該陣容的期望分和最高分

操作步驟如下：

步驟1：針對某個項目，依次利用個人分布律，計算各名運動員的有效分期望值和最大值。

步驟2：從全部運動員中不重復地選擇n個運動員。

步驟3：計算各個組合陣容下的期望總分值和最大總分值。

步驟4：所有組合中有效分期望或最大值最大的陣容，即為該隊在該參賽項目上的最佳陣容。

3 結果與討論

某項體操比賽中，每個項目允許有3名運動員上場比賽，選取其中這3名運動員的成績作為該隊在這個項目的參賽成績。以運動員1、2、3組成的陣容參加自由體操為例，編寫程序計算得到總的分布律（表1）。得到27.96、29.6分。仍以運動員2、3、4組成的陣容參加自由體操為例，運用個人分布律法計算，得到相關數(shù)據(jù)見表2。

4 等效性的證明

兩種方法的計算結果相同。事實上兩種方法是等效的，顯然后者將更簡便。證明如下：

記在特定參賽項目上，某陣容的總體分布律期望為 E、最高分為 M。

先證明在最樂觀策略下：

再證明在均值策略下：

同理

則得結論

證明完畢。

既然兩種方法是等效的，而由后者計算可以大大簡化計算量，尤其是運動員分布律比較復雜時，更有必要利用后者來求解問題。且由證明過程可以發(fā)現(xiàn)，對于陣容的選取，選取每個運動員的策略可以任意組合。例如，選取某套陣容時，運動員依據(jù)均值策略，根據(jù)最樂觀策略。

5 結語

本文對已有平時訓練成績的運動員組合參賽問題進行了探析。鑒于該問題，已有很多學者進行研究，模型的建立和方法都很成熟，所以本文并沒有重點討論如何建立模型和如何求解，而是解決了眾多文章中沒有討論所選方法合理性的問題，通過多個角度的方法解析和等效性證明，既明確了簡便算法，也可以證明眾多參考文獻中模型求解算法的正確性。