從“雞兔同籠”說開去
——淺談數學思想方法的培養

◆楊建忠

(浙江省云和縣古坊小學)

從“雞兔同籠”說開去
——淺談數學思想方法的培養

◆楊建忠

(浙江省云和縣古坊小學)

在我們的數學教學中，我們通過數學教學培養學生有效地分析、判斷事物的能力，對學生進行思維上的訓練，從而促進學生更好地學習、生活。說到底是對學生進行數學的思想方法的培養與滲透。但是，數學思想方法對學生來說太過抽象，于是我們便借助解決問題這一載體，在生活情景中、在數學問題的提煉中，培養學生的數學思維、能力，從而滲透數學的思想方法。數學的思想方法習得后，我們還要指導學生運用數學的思想方法，去解決生活中的各種問題，也就是《新課程》中說的:從生活中來，到生活中去。對學生來說，課堂上習得的數學技能，明白的規律只是一時的，只有等他們學會了數學的思想方法，并運用數學的思想方法解決生活中的實際問題，學生的受益才是終身的。

那么在我們的教學中，如何在“解決問題”中去滲透數學的思想方法，培養、提升學生的思維能力呢?

總結自己多年從事小學數學教學的經驗，我認為可以嘗試分三個步驟來達成目標。第一步:方法解讀。第二步:形成策略。第三步:建模運用。戲稱為解決問題“三步曲”。

之前教學過《雞兔同籠》，印象頗深。它其實就是滲透一種在數學學習、研究問題上都很重要的數學思想方法——解決問題從簡單入手的化歸思想，同時還涉及假設思想方法、數形結合思想方法等。教學中是把“雞兔同籠”作為滲透數學思想方法的一個學習載體，借助這個載體，去發展學生的思維，提高學生的能力。現以此為例，淺談數學思想方法培養的“三步曲”。

第一步:方法解讀

當把問題情境拋給學生后，由于他們學習層次的差異，對它的解答不同的學生有不同的方法。老師要做的就是耐心一點，靜靜的等待一下，使學生在認真思考的基礎上，在自主探索中發現多種解題方法。然后再引導學生對不同方法進行解讀，進而在解讀中溝通方法與方法之間的聯系。

片段一:

生1作品:假設兔有10只4×10=40(只)40—32=8(只)

雞:8÷2=4(只) 兔:10—4=6(只)

生:把10只都當作兔，共有4×10=40(只)腳，多算了40—32=8(只)

師:“8只”是什么意思?

生:是全當作兔后比32只腳多了8只腳。從兔子每次去2只腳，8÷2=4(只)是雞。

師:每次去幾只?

生:2只。

師:為什么是“2只”?

生:(4—2)=2只，雞比兔少2只腳。……

生2作品:

生:還有一種方法，調整頭的，全部看成雞，把一只兔子看成兩只雞，那么有16 個頭，比實際多了6 只，32 ÷2=16(個)，16—10=6(個)，10—6=4(只)

師:誰看明白他的意思了?

生:32÷2=16(個)，如果把一只兔當成2只雞，那么全是雞，有16只，總共只有10只，10—6=4(只)是兔，4只是雞。

在課堂上學生出現的解題方法可能是多種多樣的，要體現這些不同思考方法的價值，我認為引導學生進行到位的解讀是很重要的。我們知道學生的思維參與度直接影響著數學交流的質量，如果他們的思維沒有激活，就很難有高質量的交流。如果沒有合理的引導與解讀，那么學生之間的數學交流就只是膚淺的“說話”，實質上沒有達到信息交流并引起學生思維碰撞的效果。

只有在對方法進行比較深入的解讀中，引導學生交流、思考，在傾聽中關注別人發言的錯誤或是不嚴密的地方，再進行自己的補充或質疑，這樣，才能真正通過對話，把交流引向深入，引發更深層次的思維碰撞。

第二步:形成策略

新課程下的“解決問題”教學注重數學思考，關注解決問題的方法和策略的形成，使學生學會用多種方法收集和處理問題情境的信息，學會從問題中發現隱含的數量關系，學會從多角度思考問題，使“用數學的方法和策略思考問題”逐步成為學生思維方式的重要組成部分。

片段二:

師:剛才我們用了哪些方法?

生:方程解、假設法、列舉、畫圖。

師:不論是畫圖、列舉，還是假設法、方程，但關鍵一點都是通的，都用了什么思想?

生:假設。

師:是啊，都用到了假設，所以“雞兔同籠”也被稱為“假設問題”。其實，《孫子算經》的原題是這樣的。(“一十頭”改為“三十五頭”，“三十二足”改為“九十四足”)

師:現在你能解答嗎?(能)一般會用什么方法?

生:假設法。

在比較細致的方法解讀基礎上，再引導學生來分析、辨別，對此類題的基本方法也有了一個感性的認知，才更能凸顯思維的品質，才能對學生更有效果。因為，之前的思考，已經對他形成最后的策略奠定了一定的基礎。如果是在沒有思考的基礎上，沒有溝通與解讀，只是簡單接受或是附和了別人的觀點，在這樣的狀態下，學生的思維廣度、深度都是跟不上的，更談不上有更多新的想法或是不同意見了。

所以，當學生在交流中形成多種觀點時，教師要引導他們進行梳理、辨析、溝通，當他們的觀點漸趨一致時，可以引導學生把交流中得到的成果提升到一般方法的層面，引導他們探究解決問題的策略，不斷提升他們的學習能力。

第三步:建模運用

建立模型是指人們在以數學方式研究具體問題時，通過一系列的思維活動來探究、挖掘具體事物的本質與關系，最終以符號、模型等方式將其中的規律揭示出來，使復雜的問題本質化、一般化，讓同類問題的解決有了共同的程序與方法。

在知識競賽中，有10道題，每答對一題得2分，答錯一題要倒扣一分。小明同學雖然答了全部的題目，但最后只得了14分，請問，他答錯了幾題?

松鼠媽媽采松子，晴天每天可以采20個，雨天每天只能采12個，它一連幾天采了112個松子，平均每天是14個。問:這幾天中有幾天是雨天?

現在的數學教學不再是以往的以點為中心，不是一個個分散的知識點，所以在教學中我們應該更注重使知識點成線成面， 以模型的形式呈現，并使學生在具體問題中能運用習得的方法、策略解決問題。

練習設計從古至今、從書本到生活的概括，使學生對于類似的題型有個比較深入的了解，對于解決此類問題的策略也有了一定把握。在“解決問題”的教學中，對這樣一個建模的過程，實質就是引導學生透過現象看本質。在這個過程中，學生經歷了思維由淺入深的過程。而建立了數學模型，學生也就形成了屬于自己的數學思維和能力，從而能自主、熟練、有效地解決相應問題。

因此，在“解決問題”的教學中，我們不能再單純地為教而教，而要試著從更全面、更立體的角度上來分析、思考。通過對方法的解讀、一般策略的形成、模型的建立運用“三步曲”，關注學生在學習過程中真正發現了什么、獲得了什么、形成了什么，在具體的情境中是否能比較合理地選擇方法來解決問題。

總之一句話:小學數學教學自始至終對學生進行數學的思想方法滲透，提高學生的思維水平，這才是最重要的。