淺析二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

◆史志紅

(河北省樂亭第二中學(xué))

淺析二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

◆史志紅

(河北省樂亭第二中學(xué))

一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點來闡明函數(shù)，這時就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認(rèn)識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應(yīng)，記為(x)=ax2+bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認(rèn)識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題:

類型Ⅰ:已知(x)=2x2+x+2，求(x+1)

這里不能把(x+1)理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

類型Ⅱ:設(shè)(x+1)=x2－4x+1，求(x)

這個問題理解為，已知對應(yīng)法則下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。

把所給表達(dá)式表示成x+1的多項式。

二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象

在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時，必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間(－∞，－b/2a］及［－b/2a，+∞)上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

類型Ⅲ:畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。

首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學(xué)生補充一些練習(xí)。

如:y=3x2－5x+6(－3≤x≤－1)，求該函數(shù)的值域。

二次函數(shù)的知識，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維:

類型Ⅴ:設(shè)二次函數(shù)g(x)=ax2+bx+c(a＞0)方程g(x)－x=0的兩個根 X1，X2滿足0＜x1＜x2＜1/a.

(Ⅰ)當(dāng) X∈(0，x1)時，證明 x＜g(x) ＜x1.

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，證明x0＜x2.

解題思路:

本題要證明的是x＜g(x)，g(x)＜x1和x0＜x2，由題中所提供的信息可以聯(lián)想到:①g(x)=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點;②方程g(x)－x=0可變?yōu)閍x2+(b－1)x+1=0，它的兩根為x1，x2，可得到x1，x2與a、b、c之間的關(guān)系式，因此解題思路明顯有三條①圖象法②利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導(dǎo)。現(xiàn)以思路②為例解決這道題:

(Ⅰ)先證明x＜g(x)，令g(x)=g(x)－x，因為 x1，x2是方程 g(x)－x=0的根，g(x)=ax2+bx+c，所以能 g(x)=a(x－x1)(x－x2)

因為0＜x1＜x2，所以，當(dāng) x∈(0，x1)時，x－x1＜0，x－x2＜0得(x－x1)(x－x2)＞0，又 a＞0，因此 g(x)＞0，即 g(x)－x＞0.至此，證得 x＜g(x)

根據(jù)韋達(dá)定理，有x1x2=ca

∵ 0＜x1＜x2＜1/a，c=ax1x2＜x=g(x1)，又 c=g(0)

∴g(0)＜g(x1)

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線y=g(x)是開口向上的拋物線。因此，函數(shù)y=g(x)在閉區(qū)間［0，x1］上的最大值在邊界點x=0或x=x1處達(dá)到，而且不可能在區(qū)間的內(nèi)部達(dá)到，由于g(x1)＞g(0)，所以當(dāng)x∈(0，x1)時g(x)＜g(x1)=x1，

即x＜g(x)＜x1

(Ⅱ)略

二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。