高教數學解題方法研究

李奇芳

（山西財貿職業技術學院，山西 太原 030031）

對于不同專業的高校學生來講，他們所要求的高教數學知識是不一樣的，但并不意味著高教數學可以取消，高教數學看似是一門學術性的學科，但它卻滲透著電子領域、經管領域等這些實用性非常強的學科。正是由于高教數學如此重要，學生必須學會高教數學解題，而如何去解高教數學題，則是重中之重。只有掌握了方法，才有能力從容面對各種挑戰，才能使培養出來的學生成為合格的工程技術人才。

一、對比解題法在高教數學中體現

對比解題法簡單來說，就是通過各個對象間的比較，在過程中找出他們的異同點。對比法在高教數學中是一種常用的解題方法，可以進行對比的種類也是多種多樣的。例如幾個公式之間的對比、數與形的對比、解題方法的對比等。在高教數學解題過程中，如果能正確地運用對比法，則可以引入新的課題，突出教學重點，加強高教數學的基本技能和基礎知識的訓練，最終達到學習新知識，發展智能的作用。

高教數學中存在著許多互逆的概念、關系、運算、命題、公式等。在這一類關系的教學中“逆向問題”基本上都是難點，學生不容易掌握。如果，教學中恰當充分地使用“逆向”與“正向”的對比，使問題成為互逆間的聯想，進而把握正逆問題的區別和聯系，就可以最終解釋出逆向問題的本質所在。

例：求不定積分與微分的基本公式。在學生已經掌握了求導數的基本公式和基本運算法則的前提下，講解清楚原函數與不定積分的定義，就可以在此基礎上提出了一個“正向問題”：

函數 f(x)=SinX，求其導數 f(x)?則 f(x)=f’(x)=(SinX)=CosX。

緊接著提出一個“逆向問題”；

如果一個函數的導數f(x)=CosX，求它的全體原函數。全體原函數則為；∫（f）dx=∫cosxdx=SinX+C=f（x）+C。

在此過程中，充分利用原函數概念這一轉換條件使得微分向積分而轉化，最終達到了求出積分基本公式的要求，為全面掌握好求積分的方法奠定了一個良好基礎。

在高教數學的解題中，從正面講解公式、定理、概念等是十分重要的事，如果僅僅是這樣那將是遠遠不夠的，必須利用反面和正面進行對比，才能更加深入地了解問題的可能性，使之加深學生對其的理解程度。例如：在介紹數列極限的精確定義，即《ε-N》定義時，如果僅僅從證明講解，學生往往不能充分理解ε、N的真正含義和它們之間存在的關系?！鼎?N》定義的要點是；

（1）當ε>0任意給定后，必須能找到相應的N（但N不唯一），使得當n>N時，恒有|Xn-A|<ε成立。

（2）當ε>0具有相對穩定性，即ε一旦給定，相應的N也就隨之確定了，一般情況下，ε越小，N越大。

（3）當ε>0具有任意性，正是因為這樣，不等式|Xn-A|<ε才能刻畫出數列Xn與A無限接近的意思。

高教數學解題過程中也存在各大題型間的對比，解題是檢驗學生掌握所學內容的最好方法，在甚多的題型中始終保持著正確的航向是一件非常難的事情。解題的主要法門是學生不能充分把握解題的要領，解題過程中不重視具體問題具體分析，不善于用一種全新的視角去思考問題，而是死記硬背公式或者相似題型而往上生搬硬套。如何才能從這種弊端中走出來，這就需要經常在各個題型間進行對比，這樣方能充分地訓練學生的思維能力，達到培養智力的目的。題型間的對比可以從以下幾個方面來考慮：

（1）形同實同。有些題型表面與實質都相同，因此思考方法解題途徑完全相同。

（2）形異實同。有些題型表面不同，實質相同，因此解題方法以及途徑完全相同。

（3）形同實異，在求不定積分中，有些題型很類似，但要善于在類似中找出差異，找清楚實質所在，并找出行之有效的解題途徑。

另外，在解題過程中還存在錯誤與正確的對比。在接受新課題新要求的時候，學生往往沒能對出現的各種錯誤引起足夠的認識，以至于不出現錯誤才是不正當的，錯誤是正確的先導。問題的關鍵在于學生在解題過程中出現錯誤的時候，并不知道為什么出現錯誤、錯誤的原因在哪里，這時候老師就應該發揮主要職責，在學生出現錯誤的時候運用正確的解題方法而與其作對比，因勢利導，這樣就能使學生深刻地認識問題的本質，并在以后的解題過程中避免此類錯誤問題的出現。

二、高教數學解題逆向思維的運用

所謂逆向思維，指的是在數學解題和研究過程中運用和平時習慣的思維方式相反的一種思維方法。在高教數學解題過程中，當順推不能解決問題時，就要考慮逆推方法；當直接解題不能達到目的的時候，可采用間接解決問題的方法；當探討的可能性發生困難時，可以反過來探討它的不可能性。這樣說來，不管什么情況下，當反復思考一個問題而不得要領、陷入困境時，逆向思維往往可以使人茅塞頓開、絕境逢生。逆向思維在高教數學解題研究時經常會被運用到。例如：在證明題中所包含運用的反證法就是運用了這樣的一種思維方式。

三、高教數學解題中的化歸策略

當我們所面對的數學問題不能用已知模型加以解決的時候，就要考慮其他意義上的解題策略，其中一個最為重要的策略就是化歸轉化策略，即化繁為簡，化生為熟，化未知為已知，化新為舊等，這些是人類認識的基本規律。簡單來說，化就是變化原問題，轉化原問題。歸就是指變化、變換、轉化原問題，是有目的、有方向的，其主要目的是變化出一個已知數學模型，就是通過變化使面臨的問題轉化為解決問題的過程。

化歸策略共涉及到三個基本要素，即化歸的對象、化歸的方向和化歸的目標?；瘹w的對象一般就是我們所面臨的高教數學問題；化歸的方向指的是解決數學問題的方法；化歸的目標就是某個已知的數學模型。

在解題過程中，必須注重思維定勢的積極作用。在各種解題的基本方法（圖像法、判別式法、換元法、代定系數法、賦特殊值法等）和基本的策略上（對比考慮、逆向考慮、正難則反、以進為退、以退為進、換向考慮等）如果一旦形成了思維定勢，這就使學生在實際解題過程中胸有成竹、有規可循，最終能夠完整輕松地把問題解決掉。

四、把高教數學題與所學專業相結合

把高教數學題與所學專業相結合是高教數學解題的有效方法。其實，高教數學的解題方法不是只針對題目而言，更重要的是針對學生的興趣與注意力，當學生們的興趣注意力上來了，高教數學的解題也不是什么難事。把高教數學題融入到學生們所學的專業中，讓學生認識到高教數學不是獨立的，不是陌生的，更是與他們的專業息息相關的。例如，對經管類的學生，通過邊際成本、收益效應等與他們熟知的概念與高教數學知識相串聯，對電子類的學生，通過電流的瞬時感應等概念與高教數學知識相串聯。熟悉的知識概念與抽象的高教數學相結合，可以激發學生更多的學習興趣。因此，把高教數學題與所學專業相結合是高教數學解題的有效方法。

五、啟發討論、理論與實踐相結合

在平時高教數學解題過程中，注意要有自己的啟發性，培養出自己獨立思考、聯想問題的習慣。在課堂解題過程中，全體同學一塊參與、共同研討，每個人的想法都是不一樣的，都有自己獨立的思維空間，這就形成了課堂上的被動解題變為了主動解題，啟發與討論相結合，使每個學生都能從群體研討中獲得屬于自己的收益。

在每一節高教數學課結束的時候，教師除了安排必要的課外習題和復習外，盡量給學生安排與自己專業相關的應用性問題，讓學生共同參與用數學知識解決問題的過程，體驗到數學應用的樂趣。數學的本質也在于此，它是研究客觀世界的數量關系和空間形式的科學。對實際問題，通過分析、假設的方法，舍掉一部分次要的因素，最終把實際問題轉化為一個數學問題，并運用數學知識找到相應的解決方法，最終通過所學的專業數學知識把問題徹底解決掉。

六、數形結合，化抽象于具體

數形結合，化抽象于具體是高教數學解題的重要方法。高教數學內容的確是抽象的，但是如果通過幾何知識來輔助，這些知識就不再那么抽象。例如，在介紹羅爾定理時，就可以從引入直觀的幾何圖像入手，那么可導性和增減性則一目了然。老師在課堂上是這樣講的，那么在高教數學解題中照樣可以運用。通過大致繪圖，便可以了解函數的增減性，這種數形結合方法一直備受推崇。不是所有的題目都要手算，有的時候，圖一畫便解決了。因此，在高教數學解題中多運用數形結合，不僅豐富了解題思路，更節省了解題時間和解題效率。

[1]焦存德.論在高數教學中數學思想方法的應用[J].咸寧學院學報，2011，(12）.

[2]楊柳,羅李平,聶春芳,高正暉,宮兆剛.提高獨立學院高等數學教學效果的研究[J].科技信息，2011，(10）.

[3]蒙琳.高數教學方法的探討[J].交通高教研究，1998，（2）.

[4]切洛.高數解題中的常用方法——挖掘隱含條件[J].青海師范大學學報(自然科學版)，2002，（2）.