解析幾何教學中培養學生空間想象能力

石向東

（梧州學院 數理系，廣西 梧州 543002）

解析幾何教學中培養學生空間想象能力

石向東

（梧州學院 數理系，廣西 梧州 543002）

空間想象能力是數學教學應培養的三大能力之一。空間想象能力的特點是對在人腦中構成的研究對象的空間表象進行改造和重新構造新的幾何形象，它是形象思維與邏輯思維相結合而產生的一種能力。基于對空間想象能力的認識，提出在空間解析幾何中培養空間想象能力的幾點建議：強化空間觀念、掌握系統的幾何基礎知識、引入多媒體教學。

空間想象能力；空間表象；多媒體教學

下面一道空間解析幾何題，對空間想象能力是很好的說明。

分析：根據已知條件，易得母線方向數為1，-2，-2，若能求出圓柱面的準線圓，就可求出圓柱面的方程。圓柱面的準線圓可以看作是以軸上的點Q （0，1，-1）為球心、已知點P（1，-2，1）到Q點的距離|PQ|為半徑的球面與過點P且垂直于軸的平面π的交線。

這道題的解法是根據題意，創造出合乎已知條件的幾何圖形來解題的一個典型。

筆者在教學時，根據已知條件求出圓柱面。已知垂直于軸的平面與圓柱面的交線圓是準線。那么在上面的解法中，是怎么想到構造一個球，并用一個平面去截它，把所得的交線作為準線呢？這是由于聯想到球面與平面的交線也是圓，從而可推想到：這個球面是以Q點為球心、|PQ|為半徑；而截面是過P點且與軸垂直的平面，于是一切問題就迎刃而解了。

由上面的例題，可以看到空間想象能力在解決空間解析幾何問題中有著不可估量的作用。培養學生的空間想象能力，一直是數學教學不斷追求的任務。

1 對空間想象能力的認識

1.1 什么是空間想象能力

空間想象能力是數學教學應培養的三大能力之一，它主要指的是人們對客觀事物的空間形式進行觀察、分析和抽象的能力。它的特點是對于在人腦中構成的研究對象的空間表象進行分割，或加工、改造而創造新的幾何形象。在空間解析幾何中，空間想象能力主要有下面三個方面的要求： （1）能借助圖形來反映并思考研究對象的幾何形狀及空間位置關系。 （2）能在復雜的圖形中區分出基本圖形，并分析其中基本圖形和基本元素之間的相互關系。 （3）能根據幾何對象的性質及空間位置關系創造出合乎一定條件的新的幾何體。可以概括地說，空間想象能力的本質是思考和創造。

1.2 空間想象能力是形象思維與邏輯思維相結合而產生的一種能力

幾何對象的空間關系有直觀的和抽象的兩種表達方式，直觀的表達形式是用圖形符號來表示，抽象的表達形式是用文字符號 （概念）表達。這兩種表達方式是相匹配的，從某種意義上來講，幾何體的圖形符號的本質意義就是與之相匹配的概念，它們之間是一種等值關系。

有人認為空間想象能力只與形象思維有關，其實不然。用圖形符號表達的空間關系雖有立體感、直觀，易于從知覺上加以理解，與表象的形成密切相關，但它又有不完整、不準確等局限，在較多部分上不能反映幾何對象的真實的空間關系；而用文字符號表示的空間關系，盡管是抽象的，但卻是分析的、邏輯嚴密的，能直接反映相應的本質屬性，因而是準確的。所以在空間想象活動中，單純依靠直覺的圖像符號進行思考難以實現空間想象，必須借助抽象的概念進行邏輯思維，這說明了空間想象能力是形象思維與抽象的邏輯思維相結合后產生的一種能力。

1.3 良好的空間想象能力是空間思維的導向

空間想象活動過程是這樣進行的：在頭腦中再現過去感知的、現實中存在的幾何形象的記憶原材料，利用這些已有表象進行加工、改造，創造出新的幾何形象，想象是以形象作為活動的主要形式。而空間思維則是反映出事物的表象的內在聯系的必然，它是以概念為主要活動形式。豐富的空間想象能力有利于提高學生的空間思維水平，良好的空間想象能力對空間思維活動起著導向性的作用。

例如，在空間解析幾何的教學中，往往要求作出由幾個曲面或平面圍成的立體圖，作圖的關鍵在于兩曲面相交的曲線的畫法，也就是如何根據空間曲線的方程來畫曲線圖形的方法。

對多數曲面來說，作曲面的圖形比較難，畫出它們的交線就更難。但是，空間曲線L作為兩曲面的交線，如果它是由F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0相交而成，也必定能找到另外兩個曲面M(x,y,z)=0和N(x,y,z)=0，使它們的交線也是L。所以產生空間曲線的曲面不是唯一的。為此，對于空間曲線我們可以創造出與之等價的、且容易作圖的曲面，比如母線平行于坐標軸的柱面，也就是射影柱面，即只要把空間曲線看作是兩個射影柱面的交線，則作圖就簡單多了。這種把曲線方程中的兩個曲面方程變換成與之等價的柱面方程的思路，便是空間想象能力的結果。

2 空間想象能力在解析幾何學科中的培養

空間想象能力是有效地處理幾何圖形，對其表象進行加工、整合、創新的一種特殊的數學能力。良好的空間想象能力有助于學生掌握高效的學習方法，提高 “數學素養”，反之，有些學生空間想象能力較差，這往往是他們學習解析幾何的絆腳石。在解析幾何教學中培養學生的空間想象能力，可以從下面三方面進行。

2.1 在建立解析幾何基本概念的教學中培養空間想象能力

圖形給人的信息是直覺的，在空間想象活動中，學生必須憑借分析圖形，識別圖形表達形式的“廬山真面目”，透過現象看本質，聯想到與圖形匹配的概念——即與圖形有關的知識點。可見，幾何對象空間的形與識的表象即直觀圖以及直觀圖所對應的空間概念，是想象的材料，這些材料的數量和質量直接影響到空間想象的水平，學生頭腦中積累的幾何知識越豐富，想象就越深刻、準確，否則就導致想象的膚淺和錯誤。

在解析幾何基本概念，包括空間平面、曲面、空間直線、曲線等幾何形體的教學中，必須摒棄過去那種只著重曲線、曲面方程知識的教學方式，而要重視學生空間知覺的獲得。例如在 “柱面”定義的教學中 “平行的直線族”、 “準線”這兩個概念的理解是學生掌握柱面特征的關鍵，也是形成空間曲面概念的開始。教學時，教師在引導學生觀察柱面形成動態過程的基礎上,使學生獲得 “平行的直線族”、 “與直線族相關的定曲線” （準線）的空間知覺、建立具有這種特征的空間曲面——柱面的表象，以確立對柱面形成的空間想象為進一步學習錐面等空間曲面打下基礎。

2.2 在解題教學中進一步發展學生的空間想象能力

當幾何基礎知識的積累達到一定程度，空間想象能力就能從形象的水平提高到抽象的文字符號水平，即無圖想象的境界。為了到達這一境界，還應該引導學生在運用解析幾何知識去解決問題的訓練中，進一步發展空間想象能力。

在解題的思維訓練中，可從如下兩個層面上展開對學生的空間想象能力的提升。

第一個層面是必須緊扣解析幾何的基本知識。因為系統的數學知識是空間想象能力的基礎，面對題目提供的信息，學生必須憑著對數學知識的準確理解，聯想到與概念匹配的圖形信息，使空間想象達到方向的準確性，以及理解的深刻性。

例2.作兩柱面x2+y2=1與y2+z2=1在第一卦限內的交線。

在上面的解法中，想象出用一系列平行于xoz平面的平面去截這兩個柱面，是來自于對柱面的幾何性質的認識，就是：①柱面可以看作是由平行直線族所生成的，因此兩柱面的交線上的點就是兩柱面的母線的交點。②圓柱面x2+y2=1的母線平行于oz軸，圓柱面y2+z2=1的母線平行于ox軸。基于對上述兩點性質的深刻理解，才能想象出一系列矩形。這種無圖想象是憑籍豐富的、系統的幾何知識才得以進行。

第二個層面是在解題訓練中要做到形象思維與邏輯思維有機的結合。數學的抽象性與邏輯嚴密性，使教師在傳統教學方法中容易進入過分強調答案的推理性和邏輯性的思維誤區，而忽略了形象思維較容易進入直覺感知這個角度和方向。筆者在解析幾何教學中根據教學內容的具體特點，采用以形象思維與邏輯思維相結合的解題訓練方法。

對空間想象能力的培養離不開畫圖與用圖。如果題目給出的空間關系的信息是用圖形表示的，那么學生在接受到這一視覺信息，并將圖形分析、整理后，根據圖形特征，就會在記憶系統中再現某個可利用的基本圖形，然后再進一步喚起直觀圖符號意義的回憶，由空間形式的圖形符號轉換到其語言符號，這就是用圖。如果題目提供的空間關系是用文字符號表示的，那么學生在得到這一信息時，就要恢復語言文字符號的圖形面貌，即將概念轉換成與它相匹配的直觀圖形，這就是畫圖。無論用圖還是畫圖，都是幾何對象的空間關系的抽象與直觀這兩種表達方式的轉換。

在空間想象活動中，一方面是知覺直觀圖，直覺地獲得圖形的符號意義，憑借圖形反映并思考幾何對象的空間形式和位置關系，這是形象思維活動。另一方面，再通過對知覺的內容進行整理、修改、補充等認知活動，并把知覺的符號意義與個體認識結構中的有關概念、知識聯系起來，用文字或列式來表達空間形狀與位置關系，這是抽象的邏輯思維活動過程。可見，在空間想象活動過程中，形象思維能力與抽象的邏輯思維能力同時發揮作用。

分析：利用圓柱面上的點到軸的距離為定值（等于準線圓的半徑），所以要先求出軸的方程及準線圓的半徑、圓心。

因為點B（0，0，2） 在l2上，令過B且垂直于l2的平面為π，即y+z-2=0，求得π與l1的交點D（0，2，0），π與l3的交點E（，1，1），由B、D、E三點可求得圓心M0（0，1，1） 和半徑 ，再利用圓柱面上任一點到軸的距離等于，從而得出圓柱面方程。

但若不作分析，而是根據l1上的點A（0，1，-1）、l2上的點B（0，0，2） 和l3上的點C（，1，1）來求圓心和半徑，就會導致錯誤的解法，這是因為過A、B、C三點的平面與軸并不垂直，這個平面與圓柱面的交線是橢圓而不是圓。錯誤解法產生的原因是，在解題過程的空間想象活動中，對過A、B、C三點的平面與軸的位置關系沒有進行分析，而僅是憑借知覺想象出過A、B、C的平面去截圓柱面所得的曲線是圓。因此空間解析幾何中對幾何對象的分析過程是形象思維與邏輯思維相結合的過程。

2.3 多媒體教學有助于空間想象能力的提高

強化空間觀念是培養空間想象能力的前提。空間觀念是指在空間知覺的基礎上形成的關于幾何對象的形狀、大小和相互位置關系的表象，它是隨著空間解析幾何的教學逐步發展起來的。在學習空間解析幾何的初始階段，為使學生具有豐富的空間表象，就離不開對實物模型的觀察，以幫助學生理解它們的本質特征，從而較好地掌握抽象的幾何概念，這個階段是看型識圖。

但直觀教具的使用不是目的，而是輔助手段，因此要盡快使學生擺脫對實物和模型的過分依賴，必須緊扣幾何的有關概念、定理等基礎知識，根據一定的邏輯推理去展開充分的想象，也就是脫型識圖。

多媒體教學是培養空間想象能力的有效途徑。空間知覺、空間觀念、空間想象能力三者之間的關系是：空間觀念是在空間知覺的基礎上形成的，而空間觀念又是空間想象能力的基礎，學生從空間知覺到空間想象能力的發展中，是以空間觀念為表象的。空間觀念的形成，是一個長期培養、積累的過程，但在實際的學習中，學生往往不易建立空間的概念，在頭腦中難以形成較準確的幾何形象，為了化解這一難點，可使用多媒體進行空間解析幾何的教學。實踐證明，多媒體教學是幫助學生形成良好的空間觀念、發展學生的空間想象能力的有效途徑。多媒體展示的圖形，使學生從多方位、多角度地觀察、認知幾何體，從而在頭腦中建立起準確的、豐富的表象，在感受知識形成的過程中培養學生的空間想象能力。

總之，空間想象能力的培養是教學中的一項長期任務，必須在教學的各個環節上長期堅持，并且與空間解析幾何的基本理論的教學以及邏輯思維能力的培養有機地結合起來，才能取得較好的效果。

[1]石志群.談培養空間想象能力的層次性及操作程式[J].數學通報,1996(4).

[2]季素月.關于數學學習的幾個問題的分析[J].數學教學,1997(2).

[3]呂林根，許子道.解析幾何[J].北京：高等教育出版社，2006.

G642.4

A

1673-8535（2012）02-0097-04

石向東（1961-），男，廣西梧州人，梧州學院數理系講師，研究方向：數學教育、微分方程。

（責任編輯：高 堅）

2012-02-20