分門(mén)別類(lèi)巧求拋物線的解析式

☉山東省萊西市姜山鎮(zhèn)繞領(lǐng)嶺中學(xué) 張俊芝

在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的性質(zhì)后，我們可將二次函數(shù)的解析式的求法，歸納為下面四種類(lèi)型.

一、一般式法

用一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0），求解拋物線的解析式，只需解決a，b，c三個(gè)待定系數(shù)即可.這就需要三個(gè)條件，方可列出三個(gè)方程，組成方程組，才能求解a，b，c，因此，當(dāng)已知三個(gè)獨(dú)立條件時(shí)，即可用一般式求出此時(shí)拋物線的解析式.

例1（?？谑兄锌碱}）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3，2），（2，7），（0，-1），求其解析式.

分析：只需將這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，列出以a，b，c為未知數(shù)的三元一次方程組.

解：三點(diǎn)代入一般式即可（略）.

點(diǎn)評(píng)：用一般式求解拋物線的解析式，需要的三個(gè)條件也不一定是三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，只要是與a，b，c三個(gè)待定系數(shù)有關(guān)即可.如拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、最值等.

二、頂點(diǎn)式法

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-h）2+k（a≠0），此時(shí)只要再尋求另一個(gè)條件，求出a即可用頂點(diǎn)式求解.

例2（濰坊市中考題）已知二次函數(shù)圖像如圖1所示，求其解析式.

分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），且過(guò)點(diǎn)（0，3）.

解：設(shè)所求拋物線解析式為y=a（x-2）2-1.

將x=0，y=3代入所設(shè)的解析式得3=4a-1，解得a=1.

所以所求拋物線解析式為y=（x-2）2-1.

點(diǎn)評(píng)：知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可用頂點(diǎn)式求解拋物線的解析式.若知道與拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的其他條件如對(duì)稱(chēng)軸、最值等，也可用頂點(diǎn)式求解拋物線的解析式.

三、兩根式法

若已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)或交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可采用兩根式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2），其中與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），（x2，0）.

例3（哈爾濱市中考題）已知二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)為（1，0）和（2，0），且過(guò)點(diǎn)（3，4），求拋物線的解析式.

分析：由于（1，0）和（2，0）兩點(diǎn)是圖像與x軸的交點(diǎn)，可選用兩根式.

解：依兩根式可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）（x-2）.

再將x=3，y=4代入上式可得4=a（3-1）（3-2）.

解得a=2.

所以所求拋物線的解析式為y=2（x-1）（x-2）.

點(diǎn)評(píng)：x=1和x=2其實(shí)就是方程a（x-1）（x-2）=0（a≠0）的兩根.

四、三種形式的相互關(guān)聯(lián)

從以上分析，我們發(fā)現(xiàn)：

1.在不同的條件下，能選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ蠼鈷佄锞€的解析式就顯得較為重要，而方法選擇不準(zhǔn)，則求起來(lái)顯得煩瑣，而且錯(cuò)誤率也高.

2.同一道題中，可通過(guò)篩選，分析已知條件找出多種不同的求解方法，即一題多解.解決問(wèn)題的正確途徑不止一個(gè)，正是必要的數(shù)學(xué)思想之一.

例4 如圖2，已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2，且過(guò)點(diǎn)（-1，-1）和（-4，0），求拋物線的解析式.

分析：本題中既有與拋物線的頂點(diǎn)有關(guān)（對(duì)稱(chēng)軸），又有與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，所以可選用多種方法求解.

解法一：（一般式）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c.

依題意得：

解法二：（頂點(diǎn)式）依題意，拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2，設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，k），則所求解析式為y=a（x+2）2+k.

代入（-1，-1）和（-4，0）可得：

解法三：（兩根式）設(shè)A（-4，0），對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)為B，拋物線與x軸另一交點(diǎn)為C，由拋物線對(duì)稱(chēng)性可知AC=BC=2，所以C（0，0）.

所以設(shè)拋物線解析式為y=ax（x+4）.

隨著新課程改革的逐步深入，對(duì)二次函數(shù)部分的考查正逐步降低要求，對(duì)二次函數(shù)解析式的求解，由于其難度不大，作為對(duì)基本技能的考查往往會(huì)出現(xiàn)在中考題中，或以填空題、選擇題出現(xiàn)，或作為綜合題的引入問(wèn)題.熟練掌握這些解題方法是非常必要的.