2012年高考函數基礎點掃描

☉浙江省天臺中學 褚人統

函數是高中數學中最重要的概念，并且包含了很多衍生概念和相關概念.因此本專題的內容在高考中所在比重最大，試題涵蓋易、中、難各個難度層次.下面對本專題在高考中考查的15個基礎點進行掃描，以供讀者重點注意.

一、求函數解析式，計算函數值

此題型主要考查學生的運算能力，通常是給出解析式和自變量，求函數值，學生只需代入并計算即可；若函數為抽象函數（即沒有給出具體的解析式），則對代入的技巧要求更高，計算量相對更小；對于分段函數，則需要判斷一下自變量所屬的范圍；對于已知奇偶性的函數，則可借助自變量的相反數的函數值；還有一類題目，解析式中帶有待定系數，此時只要代入題目中事先給出的數據，則可通過解方程（組）解出待定系數.此類題目通常難度偏低.

二、會計算定義域

此類題型也屬于基礎題型，解法比較固定，難度不是太大.對于給出具體解析式的函數，求定義域只需注意以下六點即可：①分式的分母非零；②偶次根式的被開方數非負；③對數式中的真數為正；④零次冪的底數非零；⑤指、對數的底為正且不為1；⑥正切值時對應的角終邊不落在y軸.在具體題目中，根據以上六點要求列出不等式（組），解之即可.

三、求函數的值域、極值、最值

此類題目是高考函數的熱點問題，2012年高考中每套試卷中都有這類題目的影子，而此類題目難度覆蓋層面較大，有易有難，主要取決于解析式的復雜程度.求值域的先決條件是已知定義域與解析式，這兩項準備工作通常不難完成，甚至多數題目在條件中會直接給出，關鍵是求值域的方法靈活多變，常見的方法有：單調性法、數形結合法（適合選擇、填空題）、導數法（求出最值，值域的端點通常就是最值），變形過程中還可能利用到分離常數、配方、換元等變形技巧.其中借助導數方法的較多（因為導數也是高考數學的一大熱點），這就要求學生對導數的應用非常熟練：導數的正負可以判斷單調性；單調區間的交界處即極值點；綜合考查極值點與端點可以找到最值點.

例3 （重慶理第8題，5分）設函數f（x）在R上可導，其導函數為f ′（x），且函數y=（1-x）f ′（x）的圖像如圖1所示，則下列結論中一定成立的是（ ）.

A.函數f（x）有極大值f（2）和極小值f（1）

B.函數f（x）有極大值f（-2）和極小值f（1

C.函數f（x）有極大值f（2）和極小值f（-2）

D.函數f（x）有極大值f（-2）和極小值f（2）

答案：D

四、函數單調性

此類題目通常考查函數單調性的判定或應用，且常與導數相結合，難度通常不是太大.對于單調性的判定問題，常見的解決方法有：利用定義（較煩瑣，很少見）、利用導數（較常見，因為導數也是考點）、利用圖像（適合選擇、填空題）、利用復合函數單調性判斷法則（常用于含有指數、對數或三角函數的復合函數）、利用關于單調性運算的結論（如增+增=增，增-減=增，增*增=增（要求函數值均恒正），-增=減）.至于單調性的應用，則主要有求最值和比大小.利用單調性求值域的問題前面已經提到，而比大小指的是在函數中，如果某一個區間上的單調性已知，則在此區間內，可由x1，x2與f（x1），f（x2）中其中一組大小關系，推斷另外一組大小關系.其中常用的是將f（x1），f（x2）的大小關系轉化為x1，x2的大小關系，因為這樣可以省去代入函數中的運算.

例4 （廣東理第4題，5分）下列函數中，在區間（0，+∞）上為增函數的是（ ）.

答案：選

五、函數奇偶性與圖像的對稱性

此類題目通常考查函數奇偶性的判定與應用，難度不是太大.對于奇偶性的判定，則主要通過定義，先檢查定義域是否關于原點對稱，然后考查f（-x）與f（x）的關系，此外還可以利用關于奇偶函數運算的結論（如奇+奇=奇，奇*偶=奇，|奇|=偶）.關于奇偶性的應用，則主要有兩點：第一是微觀上的，即考查互為相反數的兩個自變量所對應的函數值之間的關系，第二是宏觀上的，即通過原點某側的圖像推斷原點另一側的圖像.

例5 （湖北文第6題，5分）已知定義在區間［0，2］上的函數y=f（x）的圖像如圖2所示，則y=-f（2-x）的圖像為（ ）.

答案：選B

點評： 其實， 圖像經過了以下的一些變換：y=f（x）

六、函數周期性

函數的周期性主要在三角函數中出現，對于一般函數，更多見的是“類周期函數”，即類似于周期函數的函數，這些函數在相鄰兩個“周期”內，解析式略有不同，例如滿足f（x+2）=2f（x）的函數f（x）.周期函數與類周期函數主要考查函數自變量從某周期到另一周期的跳躍，而這個動作的基礎則是從某周期到相鄰周期的過渡和變換，因此這類題目的關鍵就是根據題目條件，做好過渡工作.另外，周期函數與函數的對稱性密切相關，兩個對稱性（軸對稱或中心對稱）常常可以確保函數具有周期性（如果函數圖像有兩個對稱軸，則周期為軸間距的2倍；如果有兩個對稱中心，且這兩個中心縱坐標相同，則周期為兩個中心橫坐標差的2倍；如果有一個對稱軸和一個對稱中心，則周期為對稱中心到對稱軸距離的4倍），利用函數周期性畫函數圖像也比較常見.

例6 （重慶第7題，5分）已知f（x）是定義在R上的偶函數，且以2為周期，則“f（x）為［0，1］上的增函數”是“f（x）為［3，4］上的減函數”的（ ）.

A.既不充分也不必要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.充要條件

分析：由f（x）是定義在R上的偶函數及在［0，1］上是增函數可知，在［-1，0］上是減函數，又2為周期，所以在［3，4］上也是減函數.

七、零點的分布問題

此類題目多在新課標地區出現，考查零點的存在定理：［a，b］上的連續函數f（x）在（a，b）內有零點的充分不必要條件是f（a）f（b）＜0；若f（x）為連續單調函數，則為充要條件.為此，此類題目只需判斷端點函數值是否異號即可，通常難度不大.對于f（x）的圖像容易被作出的情況，數形結合也不失為一種好的方法.現在利用零點存在定理解決綜合問題也經常出現，這樣的試題難度就很大.

例7 （遼寧理第11題，5分）設函數f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且 當x∈［0，1］時，f（x）=x3.又函數g（x）=，則函數h（x）=g（x）-f（x）在］上的零點個數為（ ）.

A.5 B.6 C.7 D.8

分析：由f（-x）=f（x），知函數f（x）為偶函數，所以f（x）=f（2-x）=f（x-2），所以函數f（x）為周期為2的周期函數，且f（0）=0，f（1）=偶函數，且g（0）=g（）=0.在同一坐標系下作出兩函數在-［］上的圖像，如圖5，發現在］內圖像共有6個公共點，則函數h（x）=g（x）-f（x）在］上的零點個數為6，故選B.

點評：本題主要考查函數的奇偶性、對稱性、周期性、函數圖像、函數零點等基礎知識，是難題.求零點個數問題的常規處理是將f（x）-g（x）=0變換化簡（注意不要失根）為f（x）=g（x），其后一般用數形結合方法判斷個數；在畫圖形時不要隨意畫，要正確判斷函數的性質，尤其是單調性、最值，畫準確的圖像，否則是在用一個錯誤的“形”來判斷“數”了.

八、函數圖像

九、定積分

此部分內容為新課標新增內容，重點考查定積分的幾何意義與計算，通常難度不大.定積分的幾何意義即曲邊梯形的面積，考生只需找出待求圖形的邊界對應的函數解析式，并找準積分區間，即可列出算式；至于定積分的計算，多采用牛頓-萊布尼茨公式，只需逆用求導公式，找出被積函數的一個原函數，然后代入積分上下限，作差即可.

例9 （山東理第15題，4分）設a＞0.若曲線ya，y=0所圍成封閉圖形的面積為a，則a=________.

十、分段函數

分段函數，即函數在定義域的不同子集合內，采用不同的對應法則.此概念對應題目多為簡單或中檔題.解決此類題目只要判斷清楚待求自變量究竟在定義域的哪一個子集內就好了，如果不確定，則需進行討論.至于分段函數與單調性、最值等問題的綜合，只需在每一“段”內分別考察單調性、最值，然后綜合考慮即可.

A.D（x）的值域為（0，1） B.D（x）是偶函數

C.D（x）不是周期函數 D.D（x）不是單調函數

分析：A中，由定義直接可得，D（x）的值域為{0，1}.

D中，D（1）=1，）=0，D（2）=1，…，所以不是單調函數.

十一、復合函數

此概念比較容易理解，就是將內層函數的函數值代入外層函數，得到新的函數值；關鍵是分清誰是內層，誰是外層，若函數解析式已給出，則題目通常難度不大，若函數為抽象函數，則往往偏難.

例11 （重慶文第10題，5分）設函數f（x）=x2-4x+3，g（x）=3x-2，集合M=｛x∈R|f（g（x））＞0｝，N=｛x∈R|g（x）＜2｝，則M∩N為（ ）.

A.（0，+∞）B.（0，1）C.（-1，1）D.（-∞，1）

分析：由f（g（x））＞0，得g2（x）-4g（x）+3＞0，則g（x）＜1或g（x）＞3，即3x-2＜1或3x-2＞3，所以x＜1或x＞log35；由g（x）＜2，得3x-2＜2，即3x＜4，所以x＜log34.故M∩N=（-∞，1）.

十二、指數、對數的運算性質

A.x＜y＜zB.z＜x＜yC.z＜y＜xD.y＜z＜x

十三、導數、切線問題

此部分內容主要包括兩種題型：一是求導函數或導數值，二是利用導數求切線，兩類題目主要考查學生的運算能力，難度適中.求導函數只需牢記8個基本求導公式，掌握四則運算的導數運算法則和復合函數的運算法則即可（用定義求導數的題目非常少見）；對于求導數值的題目，通常就是先求出導函數，然后代入自變量；求切線的問題，關鍵在于是否已知切點的橫坐標，若已知，則將其代入函數可得切點縱坐標，代入導函數可得切線斜率，然后利用點斜式可求出切線方程；若切點的橫坐標未知，則通常設其為t，然后用點斜式算出切線方程（含t），然后再借助其他條件求出t，則此時切線方程隨之確定.

例13 （廣東理第12題，5分）曲線y=x3-x+3在點（1，3）處的切線方程為________.

分析：y=x3-x+3?y′=3x2-1?y′|x=1=2

?切線方程為y-3=2（x-1），即切線方程為2x-y+1=0.

十四、反函數

新課程中刪去了反函數的一般定義和求法，因此，僅在大綱考區出現此類問題，難度不會太大.這類問題主要考查學生是否熟悉原函數與反函數之間的關系，代數上，原、反函數的定義域與值域進行了互換，反函數的解析式可由原函數經“一（反）解二換（元）三注明（新的定義域）”的三部曲得到；幾何上，原、反函數的圖像關于直線y=x對稱.

A.y=x2-1（x≥0） B.y=x2-1（x≥1）

C.y=x2+1（x≥0） D.y=x2+1（x≥1）

答案：選

十五、函數極限

A.不存在 B.等于6 C.等于3 D.等于0

分析：分段函數在x=3處不是無限靠近同一個值，故不存在極限.

點評：對于分段函數，掌握好定義域的范圍是關鍵.