利用單位根給出一般周期數(shù)列的通項(xiàng)公式

☉浙江省溫州中學(xué) 林慶望

☉浙江省溫州大學(xué) 於家海

首先回顧周期數(shù)列的定義：給定數(shù)列{an}，如果存在不為0的正整數(shù)T，使得ai=ai+T對(duì)一切自然數(shù)i都成立，則稱數(shù)列{an}稱為周期數(shù)列，稱T為這個(gè)數(shù)列的周期.例如a，b，c，a，b，c，…，一般要寫出這個(gè)簡(jiǎn)單周期數(shù)列的通項(xiàng)并不困難，通常可以用分段通項(xiàng)公式來(lái)確定.但是如果想用一個(gè)統(tǒng)一的通項(xiàng)來(lái)表示，卻不那么容易.下面我采用“分解組合”的思想，介紹利用單位根給出一般周期數(shù)列的通項(xiàng)公式.

一、退到最簡(jiǎn)單的情形

二、回到稍許復(fù)雜的情形

容易計(jì)算

有了上述準(zhǔn)備，我們給出前述數(shù)列的通項(xiàng)公式為

三、推廣到一般周期數(shù)列的情形

由前面的鋪墊，我們想到類似的、更一般的周期數(shù)列的通項(xiàng)應(yīng)該與單位根有關(guān).不妨設(shè)所給數(shù)列的周期為k，即a1，a2，a3，…，ak，….先考查xk=1在復(fù)數(shù)域上根的分布情況，易見單位根分別為ω2=ω12，ω2=ω12，…，ωk=ω1k=1.我們當(dāng)然希望xn可由這k個(gè)單位根來(lái)表示.由上面討論我們可猜想周期為k的數(shù)列的通項(xiàng)公式為

下面給出該猜想的詳細(xì)證明.對(duì)上述猜想，我們只需證明通項(xiàng)公式中ai的系數(shù)有且僅有一個(gè)為1，其余都為0，并且哪一個(gè)ai的系數(shù)為1，由n除以k的余數(shù)確定（r=n（modk））.特別地，當(dāng)k整除n時(shí)，即ak的系數(shù)即為1；當(dāng)k不整除n時(shí)，即ar的系數(shù)為0.下面分兩種情況討論：

即ak的系數(shù)為1.而?r1=1，2，3，…，k－1而言，

換句話說(shuō)，這種情況下，除ak外，ar1的系數(shù)均為0.

而?r1=1，2，…，r-1，r+1，…，k-1，k來(lái)說(shuō)，

在這種情況下，除ar外，ar1的系數(shù)均為0.至此，我們證明了猜想的正確性.

四、一般周期數(shù)列再推廣

我們還可以考慮這k個(gè)數(shù)中，可能會(huì)有相等的數(shù)字.如a，a，b，b，c，c，a，a，b，b，c，c，…，根據(jù)上面的論述我們?nèi)菀椎玫剿耐?xiàng)公式為

我們還可以考慮不均勻的情況，如a，a，a，a，b，b，b，c，c，d，a，a，a，a，b，b，b，c，c，…，不難發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的通項(xiàng)公式為

其他情況，這里就不再贅述.

一點(diǎn)啟示：數(shù)學(xué)大師華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“我們要善于退，足夠地退，退到原始而不失重要性的地方，退到我們?nèi)菀卓辞鍐?wèn)題的地方…”，從這個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程來(lái)看，正是這樣“退”的思想來(lái)指導(dǎo)我們獲得解決問(wèn)題的思路.今后我們遇到其他難題時(shí)，學(xué)會(huì)冷靜分析，努力將問(wèn)題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，然后一一將它們攻克，再將這些簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)組合，最終解決原來(lái)的問(wèn)題.這種“分解組合”的思想，在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中應(yīng)該大有用武之地.