向量客串 匠心獨具

☉湖南省長沙市明德中學 何 玲

向量是數學中的重要概念之一，由于它具有幾何和代數的“雙重身份”，因此成為中學數學知識的一個交匯點，成為聯系各種知識的媒介，特別是在處理度量、角度、平行、垂直等問題時，向量工具有其獨到之處，尤其是解決解析幾何問題中，它像“一個客人”，以其匠心獨具的思路去剖析一個個棘手的題目，能夠大顯身手.請看下面例題.

例1 如圖1，給定點A（a，0）（a＞0）和直線l：x=-1，B是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C，求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系

常規解法：根據題意，設B（-1，b）（b∈R），則直線OA與直線OB的方程分別為y=0和y=-bx，設點C（x，y），則有0≤x＜a.由OC平分∠BOA，知點C到OA，OB的距離相等，根據點到直線的距離公式，有：

把b代入①，得：

整理可得：y2［（1-a）2x2-2ax+（1+a）y2］=0.②

當y=0時，b=0，∠BOA=π，點C的坐標為（0，0），滿足②式，

則點C的方程為：（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）.

（1）當a=1時，y2=x（0≤x＜1）表示一段拋物線.

當0＜a＜1時，表示一般橢圓；當a＞1時，表示雙曲線的一部分.

當b=0時，∠BOA=π，點C（0，0）也適合方程.

綜上，點C的軌跡方程為：（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）.

當0＜a＜1時，表示橢圓的一部分，當a＞1時表示雙曲線的一部分.

常規解法：略.

常規解法：略.

常規解法：略.

巧妙解法：設C（x，y），則（x，y）=（3α，α）+（-β，3β）=（3α-β，α+3β）.

小結：解決這類問題的關鍵是把解析幾何題目中的條件向量化，這無形中加大了題目的難度，提高了對學生綜合能力的要求，學生解答這類題目的關鍵是把向量的條件表達的幾何意義挖掘出來，或者直接運用向量的坐標運算解題.