通性通法,一招制勝的法寶：由“ 怎樣做到分類不重不漏”引發的思考

☉江蘇省江浦高級中學文昌校區 於有海

一、規律探索

1.問題給出

《中學生數學》（2010年1月上）（高中）中“怎樣做到分類不重不漏”［1］一文，運用多重分類的方法處理2007年高考廣東卷一題.

例1 已知a是實數，函數f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函數y=f（x）在區間［-1，1］上有零點，求a的取值范圍.

有興趣的讀者可參閱原文.

筆者認為多級分類討論對學生來說要做到分類不重不漏并非易事，我們不妨翻閱各地高考試卷，凡涉及多重分類討論的大都是一些壓軸題，而此題不一定有此難度.當然，解決此題的方法一定也很多，下面筆者談談個人對此題乃至一類問題的一點淺見.

2.問題分析

函數y=f（x）在區間［-1，1］上有零點

?方程2ax2+2x-3-a=0在區間［-1，1］上有實數解

3.問題簡解

解：函數y=f（x）在區間［-1，1］上有零點，等價于方程2ax2+2x-3-a=0在區間［-1，1］上有實數解，即方程（2x2-1）a=3-2x（*）在區間［-1，1］上有實數解.

如圖1.

二、殊途同歸

1.方法提煉

例1實質是“方程有解”問題.命題結構：?x∈［a，b］ ，使得方程（fx）=m成立.

如圖2所示，如果命題成立（方程有解），那么m應該在兩條直線（包括直線）之間的區域內變化，而此區域正是函數y=f（x）的值域，由此可歸納出這類問題的處理流程：

方程有解?求函數值域?找函數?變量分離

（變量分離這步需要根據具體題目考慮使用與否，下面不再說明）

2.姊妹命題

“方程有解”問題我們不妨先到此，下面來看看“方程無解”、“不等式恒成立”、“不等式能成立”與“方程有解”問題的區別和聯系.

（1）“方程無解”問題

命題結構：?x∈［a，b］，都有方程f（x）=m不成立.

如圖3所示，如果命題成立（方程無解），那么m應該在兩條直線（不包括直線）之外的區域內變化，而此區域正是函數y=f（x）的值域的補集，由此可歸納出這類問題的處理流程：

方程無解?求函數值域的補集?找函數?變量分離

（2）“不等式恒成立”問題

命題結構：?x∈［a，b］，都有不等式f（x）＞m成立.

如圖4所示，如果命題成立（不等式恒成立），那么m應該在直線（不包括直線）以下的區域內變化，所以只要解出函數y=f（x）的最小值，使這個最小值大于m即可，由此可歸納出這類問題的處理流程：

不等式恒成立?求函數最值?找函數?變量分離

（3）“不等式能成立”問題

命題結構：?x∈［a，b］，使得不等式f（x）≤m成立（即不等式有解）.

如圖5所示，如果命題成立（不等式能成立），那么m應該在直線（包括直線）以上的區域內變化，所以只要解出函數y=f（x）的最小值，使這個最小值小于或等于m即可，由此可歸納出這類問題的處理流程：

不等式能成立?求函數最值?找函數?變量分離

3.形異質同

到這里，讀者應該能夠看出方程有解（無解），不等式恒成立（能成立），這兩類看上去毫不相關的問題，其實質上卻是相同的——都是求函數的值域或最值.因此我們可給出統一的處理流程：

方程有（無）解，不等式恒（能）成立?求函數值域或最值?找函數?變量分離

三、規律運用

例2 （2010年天津卷第16題）

本題從表面上看，題目中的式子結構很復雜，但本質上就是不等式恒成立問題，因此由規律知只要求出函數最值就可以解出答案.這樣，了解這類問題的本質不僅為我們節省了審題的時間，更為我們考試信心的提升帶來了不可估量的作用.

四、教學反思

1.重視通性通法的教學

不管是方程有解（無解）問題，還是不等式恒成立（能成立）問題，都可以歸結到函數的值域與最值問題范疇——通性，解決這類問題實質就是求函數的值域或最值——通法.

通性通法的熟練掌握，有利于學生利用這種通法而“一招制勝”.例2的選擇主要目的在于讓學生通過比較，近一步感受通性通法的優點，從而達到多題一解、一招制勝的效果.當然，例題也還有其他的解法（本文在此不作說明），筆者認為，通性通法是解決這類問題的正餐，利用性質等巧法則是配菜.

2.重視幾何圖形的輔助解析

華羅庚說過“數無形時少直覺，形少數時難入微”，從幾何直觀上分析問題與用代數方法解幾何問題同樣重要，而在面對抽象、難于理解或從數的角度去解決問題出現繁雜，導致解題效率低下甚至失敗時，不妨換個方式——用幾何圖形——來進行嘗試，這樣可能會挖出題中一些隱含的幾何條件，從而幫助理解，甚至解決問題.這正如美國數學家斯蒂恩所說：如果一個特定的問題可以被轉化為一個圖形，那么就整體地把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法.

3.重視常見函數的值域與最值的教學

（1）常見函數

（2）求函數值域與最值的方法

函數的值域與最值的求法，一直以來都是探究的熱點，其中不乏優美的解法，但是這些解法往往伴有一些特殊的要求，正是這些“要求”導致學生“一聽就懂，一做就錯”.筆者認為過分的發散而不及時總結則為無用功.

其實前一節所列出的常見函數，在求它們的值域與最值時都有固定的方法，如一次函數、反比例函數、指數函數可用單調性；二次函數可判斷對稱軸與定義域之間的關系；正弦函數、余弦函數可畫圖像.當遇到有幾個常見函數組合而成的函數時可考慮使用不等式或導數，即：把握一種方法，巧用兩個工具.

總之，對于《課標》中要求不明確之處，應本著“簡單”、“易知”的原則去把握.這就要求教師在教學過程中，應做到有的放矢，把該講的內容講透，不易過分拔高或降低要求，學生能夠掌握常見函數的值域或最值的基本解法即可.

1.陳大康.怎樣做到分類不重不漏［J］.中學生數學，2010（1上）.

2.王忠.2009年江蘇卷解析幾何題解題分析與教學反思［J］.中學數學（高中版），2009（10）.

3.江蘇省教育科學研究院課程教材研究中心，江蘇省中小學教學研究室.江蘇省普通高中課程標準教學要求［M］.南京：江蘇教育出版社，2007.