落霞與孤鶩齊飛 秋水共長天一色——2012年浙江高考解析幾何試題的本原探討

☉浙江省杭州師范大學附屬中學 蘇立標

一、問題的呈現

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）求△APB的面積取最大值時直線l的方程.

左焦點（-c，0）到點P（2，1）的距離為

由①、②可解得a2=4，b2=3，c2=1.

因A，B在橢圓上，

點評：利用最樸素的材料，采取最一般的方法，得出最簡單的結論，這是最近幾年高考解析幾何常見的命題思路，該試題是一道圓錐曲線問題的綜合試題，既不回避考查圓錐曲線基本解題方法——“設而不求”，同樣也不忌諱解析幾何承載著對學生運算能力考查的特殊要求，是較為成功的高考試題.

二、問題本原探究

對于一個數學問題，我們不僅要引導學生去探究方法的巧思妙解，更要引導學生去關注問題的本質，探討問題本身所蘊含的數學實質，讓題目會“說話”（杭州市教研室李學軍語）.（文中所涉及的字母e均為橢圓的離心率）

把①②③代入④得k1·k2=e2-1.

三、問題變式探究

對于一個問題不僅要剖析本質，還要引導學生不斷地探究問題的知識結構和系統性，對問題蘊含的知識進行縱向深入地引申探究，加強知識間的橫向聯系，把問題所蘊含孤立的知識“點”，擴展到系統的知識“面”.通過不斷拓展、聯系，加強對知識結構的理解，進而形成認知結構中知識的系統性.在解析幾何中與e2-1有關的定值問題是非?；钴S的，所以我們有必要從正向與逆向等多個方面加以引申拓展.

1.正向引申探究

2.逆向拓展探究

證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點為M（x0，y0），

即k1為過點P的橢圓切線的斜率，故直線l為橢圓的切線.

3.試題鏈接探究

（Ⅱ）當直線l與兩坐標軸都不垂直時，在x軸上是否總存在一點Q，使得直線QA、QB的傾斜角互為補角？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

分析：該試題同樣揭示的是以e2-1為定值的圓錐曲線問題：橢圓上的任意一點P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為k1·k2=e2-1.

例題課堂教學中不斷挖掘、變換角度，盡量發揮試題的輻射作用，是激活學生數學思維的一種重要途徑.對試題進行開發和加工，捕捉和拓展，以期構建動態生成，繼而挖掘其潛在的智能訓練因素：或啟迪思路，提煉方法；或引申問題，豐富內涵；或串聯知識，擴大成果；或鼓勵創新，提升智慧，從而彰顯豐盈我們的數學課堂.

1.蘇立標.探求以e2－1為定值的圓錐曲線問題.中學數學教學參考，2006（5）.

2.玲瓏居士.一道高考解幾題的探究背景.中學數學，2004（9）.