利用“加權的琴生不等式”簡證2012年湖北高考理科壓軸題

☉湖北省黃石市第一中學 楊瑞強

隨著新課程的不斷深入推進，高中數學課程引進了導數與微積分，選修了《不等式選講》，參與高考命題的專家越來越重視初、高等數學知識的銜接.近幾年來，以高等數學知識為背景的函數與不等式綜合題在高考中頻繁出現，并且常常充當壓軸題的角色，成為高考數學的一道亮麗的風景線.事實上，許多高等數學背景下的高考試題，利用初等數學知識解答較為煩瑣，且學生在短暫的時間內難以解決，如果我們巧用高等數學的觀點，可以使問題的解答得以簡化.下面以與高等數學中的一類凸函數有著密切關系的琴生（Jensen）不等式為例，在高等數學觀點下研究2012年湖北高考數學壓軸題的解法.

高等數學背景：

題目：2012年湖北高考理科壓軸題（第22題）：

（I）已知函數f（x）=rx－xr+（1－r）（x＞0），其中r為有理數，且0＜r＜1.求f（x）的最小值.

（II）試用（I）的結果證明如下命題：

（III）請將（II）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題.

注：當α為正有理數時，有求導公式（xα）′=αxα－1.

題目分析：

事實上，如果題目的第（II）問沒有限定利用（I）的結果證明，第（III）問沒有限定利用數學歸納法證明，那么我們還可以利用高等數學背景下的加權的琴生不等式加以簡證.下面僅以第（III）問的簡證為例加以說明.

試題簡證：

解法評析：利用高等數學背景下的加權的琴生不等式簡證此題，構造恰當的函數是前提，求二階導數判斷函數的凸性是手段，應用加權的琴生不等式是關鍵.