舉一反三，一題多解

☉河南濮陽市四中 劉建營

數學是一門培養思維的學科，我們學習數學時要能夠舉一反三，有時對一道題深入研究，嘗試用不同的解法來解，可以開發學生的智力，提高學生的發散思維能力，培養學生的創新精神.下面舉例分析.

例 題 如圖1，△ABC中，∠CAB=∠CBA，D是AC上一點，F是CB的延長線上一點，且AD=BF，DF交AB于E.求證：EF=ED.

分析：本題是證明線段相等的題目，此題不可能通過直接證兩個三角形全等來得出結論，因此必須通過添加輔助線，添加方法不同，便得到不同的解題思路（如三角形全等、中位線定理、相似三角形等）.

證法一：過D作DG∥CF交AB于點G，則有：

∠DGA=∠CBA.

因為∠CAB=∠CBA，

所以∠DGA=∠CAB=∠DAG.

所以AD=DG.

因為AD=BF，

所以DG=BF.

又因為DG∥CF，

所以∠GDE=∠EFB.

又因為∠GED=∠FEB（對頂角相等），

所以△DGE≌△FBE.

所以EF=ED.

證法二：過D作DH∥AB交BC于H，則有：

∠CHD=∠CBA，

∠CDH=∠CAB.

因為∠CAB=∠CBA，

所以CA=CB，∠CHD=∠CDH.

所以CH=CD.

所以BH=AD.

因為AD=BF，

所以BH=BF.

又因為EB∥DH，

所以BE是△DFH的中位線.

所以EF=ED.

證法三：過F點作FM∥AC交AB的延長線于M，則有：

∠FMB=∠CAB.

因為∠CBA=∠CAB，∠CBA=∠FBM

所以∠FMB=∠FBM.

所以FM=FB.

因為AD=BF，

所以FM=AD.

因為∠FME=∠CAB=∠DAE，

∠FEM=∠DEA，

所以△FME≌△DAE.

所以EF=ED.

證法四：過F點作FK∥AB交CA的延長線于K.

因為FK∥AB，∠CBA=∠CAB，

所以AC=BC，CF=CK.

所以AK=FB.

因為AD=BF，

所以AK=AD.

又因為FK∥AB，

所以AE是△DFK的中位線.

所以EF=ED.

證法五：過C點作CN∥DF交AB的延長線于點N，則△FBE∽△CBN.

所以EF=ED.

證法六：過C點作CP∥AB交FD的延長線于P，

因為AB∥CP，

所以EF=ED.

當然，此題還有其他證法，有興趣的讀者可以繼續探討.在教學中，多對學生進行這樣的訓練，能引起學生的學習興趣，提高學生的靈活分析、解決問題的能力，可以起到事半功倍的效果.