靈活多變求幾何圖形陰影面積

☉湖北仙桃市三伏潭一中 王丹仿

探求與圓有關的陰影面積一直是中考命題的一種題型，尤其是近幾年來，考題新穎，還有一定的難度.不少同學對這類題型感到頭疼.為了幫助同學們掌握這類題型的解題方法，特作如下歸納總結.

一、規則圖形求差法

有些陰影部分是由一些規則圖形拼接后留下的空當，這類問題可以先求出規則圖形的面積，再求差即可解決.

點評：仔細觀察圖形，搞清陰影部分的構成情況，是正確求解的基礎.

例2 如圖2，圓心角都是90°，半徑分別為3和1的扇形AOB與扇形COD按圖示方法疊放在一起，連接AC、BD，求圖中陰影部分的面積.

分析：圖中陰影部分看起來比較復雜，但仔細觀察就會發現，由于△AOC≌△BOD，若將△BOD逆時針旋轉90°至△AOC的位置后，陰影部分的面積實際上是兩個半徑分別為3和1的扇形面積之差.

解：因為OA=OB，∠AOC=∠BOD，OC=OD

所以△AOC≌△BOD.

點評：圖中陰影部分也可看做將扇形COD逆時針旋轉∠AOC的度數后，扇形AOB與扇形COD面積之差.

二、轉化圖形求和法

有些陰影部分的面積，直接求比較困難，需要利用等積變換轉化為其他圖形的面積.

例3 如圖3，半圓的直徑AB=40，C、D是這個半圓的三等分點，求弦AC、AD和弧CD圍成的陰影部分的面積.

分析：不難證明CD∥AB，圖中陰影部分是弓形CD和△ADC面積之和，利用S△ADC=S△DOC， 即可將陰影部分轉化為扇形COD.

解：因為C、D是半圓的三等分點，所以∠COD=∠AOC=∠BOD=60°.

因為OC=OD，

所以△COD是等邊三角形.

所以∠DCO=∠CDO=60°.

所以CD∥AB.

點評：利用平行線間的距離處處相等可進行等積變換.

三、分割圖形求差法

有些陰影部分整體求比較困難，可以先分割為幾個部分，分別求面積后，再相加.

例4 如圖4，同學們要在一塊邊長為a的正方形空地上種草，他們設計了如下圖案，其中陰影部分為綠化面積，求綠化面積.

分析：圖中陰影部分可通過連接BD將其分割成兩塊，先求出其一半，即可得整個陰影部分的面積.

解：連接BD.

點評：（1）本題將陰影部分先分割為兩個相同部分，再將其中的一部分分割為一個扇形和一個三角形面積之差.

（2）圖中陰影部分的面積也可看成由扇形ABD加扇形BCD的面積再減去正方形ABCD的面積求得.

總之，求陰影部分的面積要在分清類別的情況下，采取相應的對策.當然，各種方法之間并無絕對界限，解決問題的途徑不一定只有一個，只要同學們多思考多觀察，一定會找到相應的對策，甚至能一題多解.