觀解一類不等式組問題

☉高曉兵 黃永秋

1.廣西北部灣職業技術學校 2.廣西浦北縣第六中學

江就好老師在《初中數學教與學》2011年第6期上發表的文章《例談用數形結合法解一類不等式組問題》，通過幾個實例較詳細地介紹了不等式組的數軸解法，具有較好的數學思想性和可操作性，但它須經歷“作圖、看圖、表達”三個環節，三個環節緊密相聯，不容失誤，然而在細細品讀之后，發現數軸法的求解過程比較復雜，尤其對于含參情形，學生并不能很好地掌握.在深入研究數軸法的觀察及表達習慣，全面總結不等式組的基本特征后，筆者歸納出一種全新的方法——觀解法，對于江老師文中所給例題，能做到輕松快捷且準確地求解，當然更復雜的情形，此法依然快捷自如.下面就簡要介紹一些基本思想與具體的思路，同時通過幾個例題向大家介紹此法.

一、觀解法的簡要介紹

觀解法立足于數軸法，它完全按照向右觀察和表達數軸的習慣，預先要求將不等號的開口方向全部統一向右，當然左邊空時系負無窮大，而右邊空則正無窮大.同時此法結合在數軸上不等式組的公共解集明顯由兩邊向中間靠攏的特征，左邊部分向中間靠攏時呈向右趨勢，而在數軸上越往右越大，所以“左大”，同理右邊部分向中間靠攏時呈向左趨勢，而在數軸上越往左越小，所以“右小”，所以它的取值原則為“左大右小”.綜上可以歸納出觀解法求不等式組的基本思路為：⑴確定每一個不等式組的解集；⑵依向右觀察和表達數軸的習慣，統一所有不等號開口方向向右，約定左邊空負無窮大，右邊空正無窮大；⑶依“左大右小”的原則確定不等式組的解集；⑷檢查解集，若所得解集不成立，則此不等式組無解.

二、不含參數的不等式組

例1 解下列一元一次不等式組：

依“左大右小”得不等式組的解集為11＜x＜20.

問：為什么解集是 11＜x＜20，而不是 11≤x＜20 或者其他結果呢？

答：因為11≤部分能取到最小值11，而11＜部分任取一個數都大于11，所以左邊較大的是11＜；同樣地，≤20部分能取到最大值20，而＜20部分任取一個數都小于20，所以右邊較小的是＜20.

三、含有參數的不等式組

A.m≥3 B.m=3 C.m＜3 D.m≤3

將不等式組解集中不等號開口變為向右有3＜x.

現依“左大右小”的定值原則可得m≤3，故選D.

疑惑1：為什么是m≤3，而不是m＜3、m＞3或別的答案？

解惑 1：依“左大右小”，顯然 m＜3，因為如果 m＞3的話，解集將是m＜x，不合題意.

綜上分析，可得m≤3.

依題意不等式組有解集-1＜x＜1，現對照左右數值，可得

所以（a+1）（b-1）=（1+1）（-2-1）=-6.

A.6＜m＜7 B.6≤m＜7 C.6≤m≤7 D.6＜m≤7

而題意指出該不等式組有4個整數解，可以推知此4個整數解為 3、4、5、6.

為了3≤x＜m只能取到3、4、5、6這四個整數解，則有6＜m≤7，故選 D.

疑惑 2：為什么是6＜m≤7，而不能是6≤m＜7或其他情形呢？

解惑2：依題意，可以明顯推斷出6＜m＜7.接下來分析兩個端點的情形.假設m=6，此時解集為3≤x＜6，它只含三個整數解3、4、5，不合題意，故 m≠6；再假設 m=7，此時解集為 3≤x＜7，它能取到四個整數解 3、4、5、6，符合題意.綜上所述，可得 6＜m≤7.

誠然，觀解法立足于數軸法，卻優于數軸法，它簡化了求解的環節與過程，提高了速度與準確度，弱化了求解難度，同時它同樣能直觀快捷地求解出含多個不等式、端點不易確定等復雜情形以及含有參數的情形.只要熟練掌握和運用此法，不等式組問題將會變得非常簡單.

1.高曉兵.“遙望”交并問題［J］.考試周刊，2011（25）：82.

2.江就好.例談用數形結合法解一類不等式組問題［J］.初中數學教與學，2011（06）：20～21.