不等式問題中數(shù)形結(jié)合思想的妙用

☉江蘇省丹陽高級中學(xué) 盛文萍

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，利用數(shù)形結(jié)合的方法有時(shí)可以快速尋找到解題思路，本文就數(shù)形結(jié)合的方法求解與不等式相關(guān)的問題，舉例分析.

一、解一元二次不等式

例1 設(shè)a∈R，若x＞0時(shí)均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則a=______________.

解析：本題按照一般思路，則可分為以下兩種情況：

因?yàn)槭艿浇?jīng)驗(yàn)的影響，會(huì)認(rèn)為本題可能是錯(cuò)題或者解不出答案.其實(shí)在x＞0的整個(gè)區(qū)間上，我們可以將其分成兩個(gè)區(qū)間（為什么是兩個(gè)？），在各自的區(qū)間內(nèi)恒正或恒負(fù).

我們知道：函數(shù)y1=（a-1）x-1，y2=x2-ax-1都過定點(diǎn)P（0，-1）.

二、解含參不等式

例2已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2x-2.若同時(shí)滿足條件：

①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；

②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0.則m的取值范圍是______.

解析：畫出函數(shù)g（x）的圖像，如圖2.

如滿足條件②，則2m＜-4，解得m＜-2.

綜上，-4＜m＜-2

點(diǎn)評：利用數(shù)形結(jié)合處理不等式問題，常根據(jù)不等式的兩端構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，根據(jù)兩個(gè)圖像的交點(diǎn)和位置關(guān)系，即可獲解.

三、解絕對不等式

點(diǎn)評：在作圖像的時(shí)候，要注意圖像的準(zhǔn)確性及完備性.

四、解高次不等式

對于一元高次不等式，通常是利用數(shù)軸標(biāo)根法來解決.

例4 解不等式（x2+5x+6）（2x2-x-1）＞0.

解析：原不等式可化為（x+3）（x+2）（2x+1）（x-1）＞0.

五、解抽象不等式

例5若f（x）為奇函數(shù)，且在（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)，又f（-2）=0，則xf（x）＜0的解集為（）.

A.（-2，0）∪（0，2）B.（-∞，-2）∪（0，2）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-2，0）∪（2，+∞）

解析：本題可根據(jù)題設(shè)條件先作出函數(shù)f（x）在（-∞，0）內(nèi)的大致圖像，由對稱性（奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱）得出f（x）在（0，+∞）上的圖像，從而數(shù)形結(jié)合、直觀求解.

因f（x）為奇函數(shù)，且在（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)，f（-2）=0，

則作出函數(shù)f（x）在（-∞，0）及（0，+∞）內(nèi)的大致圖像如圖5.當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f（x）＞0，xf（x）＜0；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＜0，xf（x）＜0.

故不等式xf（x）＜0的解集為（-2，0）∪（0，2）.故選A.

點(diǎn)評：若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.此類抽象函數(shù)問題利用對稱性和數(shù)形結(jié)合，?？捎卸?