一道新定義型試題的命制歷程與反思

☉安徽省無為縣劉渡中心學校 丁浩勇

一道新定義型試題的命制歷程與反思

☉安徽省無為縣劉渡中心學校 丁浩勇

隨著新課程改革的不斷深入，各地中考試題的命制也在不斷創新．縱觀近年來各地的中考數學試卷，有一種新穎的題型讓人耳目一新，那就是新定義型中考題．所謂新定義型試題，就是題干中首先給出一段閱讀材料，介紹一種新的定義，然后要求考生在自學新知識的基礎上，靈活應用新定義來解答其后的問題．

為何新定義型中考題越來越受到中考命題者的青睞？這是因為這類試題不但可以考查學生的閱讀理解能力、信息處理能力和新知識的應用能力，而且可以考查學生的數學意識、探究能力和創新精神．為了培養學生這方面的能力，同時也為了中考復習更具針對性和有效性，我在命制中考模擬試題時，對這類試題的命制進行了有益的嘗試，下面把我命制的一道新定義型試題的歷程呈現出來，與大家共享．

一、新題呈現

題目 我們新定義一種三角形：若一個三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個三角形是奇高三角形．如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的高，若AB2－AC2=AD2，則稱△ABC是奇高三角形．

（1）求證：BD=AC.

（2）在圖1中，若∠BAC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，求證：c2=ab.

（3）若圖1中的奇高△ABC滿足BA=BC，過D點作AC的平行線交AB于點E（如圖2所示）．試探求線段DE與DC的大小關系，并說明理由．

圖1

圖2

二、命制歷程

命制數學試題是每一位數學教師都要掌握的一項基本技能，《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出，在數學教學活動中，教師要創造性地使用教材，積極開發、利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材．好的數學試題，就是一項不可或缺的教學資源，這就要求教師不但要學會命題，而且還要不斷提高自己的命題技術，這樣才能保證源源不斷地給學生提供優質的試題．

1.創意源頭

一道新題的產生可以通過新編、仿編、改編以及對原有試題的重新組合等方式得到．編制這道中考模擬題的靈感來自于2011年浙江省寧波市的一道中考題．中考原題是這樣的：

閱讀下面的情景對話，然后解答問題：

（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題.

（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a∶b∶c

圖3

（3） 如圖3，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓ADB的中點，C、D在直徑AB的兩側，若在⊙O內存在點E，使得AE=AD，CB=CE，

①求證：△ACE是奇異三角形；

②當△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數．

本題要求學生在自主閱讀的基礎上充分領悟“奇異三角形”的概念，把奇異三角形的條件與勾股定理、圓的相關性質以及解直角三角形的知識綜合起來求解．試題通過情景對話給出“奇異三角形”的概念，增加了問題的趣味性和新奇性.同時，試題以“奇異三角形”為載體設計由易到難、由單一到綜合的問題，非常有利于學生展示自己的學習成果．

2.雛題形成

眾所周知，兩邊的平方和等于第三邊平方的三角形是直角三角形．中考試題中定義兩邊的平方和等于第三邊的平方的2倍的三角形為奇異三角形．由此，我們可以探究三角形兩邊的平方差，如果三角形兩邊的平方差等于第三邊的平方，這個三角形是直角三角形，如果三角形兩邊的平方差等于第三邊上高的平方呢？于是新的定義產生了——奇高三角形．

有了新的定義，就可以圍繞新定義設置問題了．課本中學生對新圖形的學習，一般先學習圖形的定義，再探索發現其性質和判定方法，然后通過解決相關的問題來鞏固所學知識．我們對“奇高三角形”的研究也應該按照這樣的思路進行．

首先，在圖1中，由“奇高三角形”的定義，可知AB2－AC2=AD2；在△ADB中，由勾股定理，得AB2－BD2=AD2.于是有AC2=BD2，即AC=BD．這說明“奇高三角形”較長邊在第三邊上的投影等于較短邊的長．因此，為了考查學生自學新知識的能力和運用勾股定理解決簡單問題的能力，設置了第1個問題——證明BD=AC．

人們認識事物，經常從認識事物的特殊類型出發來逐步深入認識它．比如我們認識四邊形時，是通過學習平行四邊形和梯形（繼續學習它們的特殊類型如矩形、等腰梯形等）來逐步認識四邊形的．同樣，研究“奇高三角形”也應該從特殊的“奇高三角形”入手展開探究．特殊的“奇高三角形”可以是直角“奇高三角形”、等腰“奇高三角形”等．

若圖1中△ABC的邊AB與BC相等時，就到一個等腰“奇高三角形”.由于等腰三角形的性質豐富多彩，如果“奇高三角形”融入等腰三角形，一定會煥發出色彩繽紛的焰花．等腰三角形的奇特性在于它“三線合一”，即底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線重合．我們不妨先作出這條線段BM（如圖4），顯然有∠1=∠2，而在“奇高三角形”中有BD=AC，設想再添加一個條件構造兩個全等三角形．過D點作DN∥CM，交BM于點N，這樣就有Rt△BDN≌Rt△ACD，于是DC=DN．因此，可以設置第3個問題，讓學生探求線段DE與線段DC的數量關系．

3.突破與反思

問題1：如何保證題設的科學性？

試題的科學性是評價試題質量的首要指標．試題的科學性包括兩個方面：一是試題本身是正確的，可解，不具有科學性的錯誤；二是試題表述簡潔、明確、規范，圖形準確，不存在歧義．如果命題時考慮欠妥導致出現科學性錯誤，不僅會影響考試的信度，更重要的還會誤人子弟.

圖4

我們來看這道題的初稿，其題設是這樣的：

我們新定義一種三角形：若一個三角形中相鄰兩邊的平方差等于第三邊上的高的平方，則稱這個三角形是奇高三角形.如圖1，在△ABC中，AB＞AC，AD是BC邊上的高，若AB2－AC2=AD2，則稱△ABC是奇高三角形.

首先，定義中“若一個三角形中相鄰兩邊的平方差等于第三邊上的高的平方”這一表述不夠明確，是任意兩邊的平方差都等于第三邊上的高的平方，還是只要存在兩邊的平方差等于第三邊上的高的平方就符合條件呢？顯然命題的意圖是在一個三角形中只要存在相鄰兩邊的平方差等于第三邊上的高的平方這個關系就符合奇高三角形的定義，而不是任意兩邊的平方差都要等于第三邊上的高的平方.所以，為了題設不會產生歧義，定稿時在“若一個三角形中”的后面加上“存在”二字.其次，由于三角形中任意兩邊都是相鄰的，所以“相鄰”這個條件是多余的.另外，由AB2－AC2=AD2就可以判定AB＞AC，這說明“AB＞AC”這個條件已經隱含在“AB2－AC2=AD2”之中，沒有必要給出“AB＞AC”這個多余的條件了.

命題反思：數學問題講究嚴密性、邏輯性，幾何問題尤為突出.在命制新定義型幾何問題時，除了新定義的真實性，即定義必須要符合事實，與已有的數學事實不存在矛盾，還要保證題設的充分性和必要性，一方面要保證所給條件能夠推導出結論，另一方面也要避免題設中存在多余條件，力求命題的題設科學合理，嚴謹規范.

問題2：如何達到結論的合理性？

一道完整的幾何證明題，包括題設和結論兩部分.學生在探求結論時，無論是由因導果，還是執果索因，總要尋找題設與結論之間的橋梁，以便能夠找到正確的解題方向.因此，我們在命制幾何證明題時，應充分考慮到學生的思維特點，在題設與結論之間架設適當的橋梁.本例中設置的第1個結論“求證：BD=AC”就是一道有效的橋梁，如果缺少第1個結論，直接讓學生探究后面的兩個結論，出現思維障礙將是不可避免的.

命制幾何證明問題時，一個結論的產生不是一蹴而就的，命題的過程中常常會有種種問題呈現，如目標不明、表述寬泛、跨度偏大等.下面以第2個問題的設置為例闡述之.第2個問題的雛形是這樣的：

在圖1中，若∠BAC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，試探求a、b、c之間的關系.

這個問題的表述過于寬泛，“a、b、c之間的關系”可以有多種不同的表現形式，比如根據勾股定理可以得到a2=b2+c2.如果學生給出這樣的結論對不對呢？這難道不是a、b、c之間滿足的關系嗎？但這樣的結論與題設中的奇高三角形毫無關系，顯然達不到預設的考查目標.因此，第2個問題的“試探求a、b、c之間的關系”最終被“求證：c2=ab”所替代.

命題反思：設置命題的結論時，結論的表述應該清晰明了，要讓學生明確問題探究的方向.如果指向不明確，容易產生歧義，導致學生錯誤地判斷問題的指向，出現一些意想不到的答案，從而難以實現命題的考查目標.

三、命制的本道試題的特點

1.試題內容新穎，體現公平

本題不同于傳統的幾何證明題，僅僅設計一些對課本現存知識應用的問題，而是借助于新定義的三角形——“奇高三角形”這個媒介，把勾股定理、全等三角形的性質與判定、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、平行線的性質等知識有機地聯系起來，讓人耳目一新.這樣的試題，是學生在課堂上從未涉及的新知識，對每一個學生來說都是平等的，題型新穎別致，不落俗套，既能激發學生的答題興趣，啟發學生的解題思路，鍛煉學生的創造性思維能力和知識遷移能力，還可以在一定程度上防止學生猜題和押題，對那些依靠“死記硬背”和“題海戰術”來應付中考的學生來說簡直就是當頭一棒.

2.試題強調基礎，兼顧選拔

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出，義務教育階段的數學課程是培養公民素質的基礎課程，具有基礎性、普及性和發展性.數學課程能使學生掌握必備的基礎知識和基本技能，培養學生的抽象思維和推理能力，培養學生的創新意識和實踐能力，促進學生在情感、態度與價值觀等方面的發展.義務教育的數學課程能為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎.因此，試題的命制首先要立足基礎.第1個問題把新概念“奇高三角形”的定義與勾股定理有機地結合起來，考查的是對勾股定理和新定義的簡單運用；第2個問題把直角三角形融入奇高三角形之中，考查的是相似三角形的判定、相似三角形的性質及奇高三角形的定義等基礎知識.

由于中考肩負著初中畢業考試和初中升學考試的雙重功能，因此，試題的編制除了注重對基礎知識和基本能力的考查，還要兼顧考查學生后續學習的潛在能力.這道中考模擬試題的編制充分考慮了考試的合格性和選拔性兩種功能.第1個問題和第2個問題重在達標性檢測，而第3個問題的設置對學生的能力方面提出了更高的要求，充分體現了升學考試的選拔功能.首先第3個問題的提出具有一定的開放性，學生需要自己尋找兩條線段具有怎么樣的數量關系，然后再從理論上加以證明.在證明的過程中，還要借助輔助線.這是對學生的邏輯推理能力、探究能力、綜合解決問題的能力及數學思想方法的全方位考查.

3.試題結構簡潔，數學味兒濃

本題的結構簡潔主要體現在兩個方面.首先，題目給出奇高三角形的定義時開門見山，沒有設置冗長的情境來干擾學生的閱讀自學進程，給學生讀題設置障礙，浪費學生的讀題時間，從而導致學生難以正確理解題意；其次，結論的表現形式簡潔美妙，如c2=ab，以非常簡潔、優美的形式揭示了直角奇高三角形的本質特性——較長直角邊是較短直角邊和斜邊的比例中項.這樣的試題正符合初中學生的心理特征，學生不但能在輕松的氛圍下答題，而且還能在答題的過程中體會到數學文化的魅力.數學題就應該滲透數學本身的學科知識和能力，切不可丟失了數學味兒而嘩眾取寵.