淺談二次函數圖像問題的處理

☉江蘇省寶應縣城北初級中學 沈洪華

淺談二次函數圖像問題的處理

☉江蘇省寶應縣城北初級中學 沈洪華

二次函數問題是初中數學的重點內容，也是高考的必考點.解決此類問題時，如果能引入函數的圖像，常可使解題事半功倍.下面就此類問題中圖像的運用提出幾點建議，以期對同學們有所幫助.

圖1

一、識圖

例1 二次函數y=a（x+m）2+n的圖像如圖1所示，則一次函數y=mx+n的圖像經過（ ）.

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限

解析：因為拋物線的頂點在第四象限，所以－m＞0，n＜0，所以m＜0，即一次函數y=mx+n的圖像經過二、三、四象限，故選C.

例2 已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖2所示，那么一次函數y=bx+c和反比例函數y=在同一平面直角坐標系中的圖像大致是圖3中的（ ）.

圖2

圖3

解析：因二次函數圖像開口向下，所以a＜0.

因二次函數圖像經過坐標原點，所以c=0.所以一次函數y=bx+c過第二四象限且經過原點，反比例函數y=位于第二四象限，縱觀各選項，故選C.

點評：解題中做好“識圖“，不僅要熟練二次函數圖像，還要熟練如一次函數的圖像、反比例函數的圖像等.

二、用圖

例3 二次函數y=ax2+bx的圖像如圖4所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有實數根，則m的最大值為（ ）.

A.－3 B.3 C.－6 D.9

圖4

又一元二次方程ax2+bx+m=0有實數根，所以△=b2－4am≥0，即12a－4am≥0，即12－4m≥0，解得m≤3，故m的最大值為3.

故選B.

點評：本題實際考查了拋物線與x軸的交點問題，解題中如能運用好已知中所給的函數圖像，則可使解題思路順利形成.

三、構圖

例4 設A（－2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y=－（x+1）2+a上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為（ ）.

A.y1＞y2＞y3B.y1＞y3＞y2

C.y3＞y2＞y1D.y3＞y1＞y2

解析：因函數的解析式是y=－（x+1）2+a，如圖5，知對稱軸是x=－1，所以點A關于對稱軸的點A′是（0，y1）.

那么點A′、B、C都在對稱軸的右邊，而對稱軸右邊y隨x的增大而減小，于是y1＞y2＞y3.故選A.

點評：本題主要考查了二次函數圖像上點的坐標特征.應準確構造出二次函數圖像，心中有圖，解題就不會碰壁.

圖5

四、變圖

圖6

（1）求原拋物線的解析式；

分析：（1）利用P與P′（1，3）關于x軸對稱，得出P點坐標，利用待定系數法求出二次函數的解析式即可.

（2）根據已知得出C、D兩點坐標，進而得出“W”圖案的高與寬（CD）的比.

解：（1）因為P與P′（1，3）關于x軸對稱，

所以P點坐標為（1，-3）.

點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式以及二次函數的應用，根據已知得出C、D兩點坐標是解題的關鍵．