探索函數與四邊形的存在性

☉江蘇省東臺市實驗中學教育集團 吳智勇

探索函數與四邊形的存在性

☉江蘇省東臺市實驗中學教育集團 吳智勇

置幾何中的四邊形于直角坐標系中，借助函數的知識，數形結合，研究具有某種特殊性質四邊形的存在性，是2012年中考中出現頻率較高的一類綜合題.本文從2012年中考題中選取數例，說明這類綜合題解題思路的分析方法.

圖1

例1 （2012年福建省泉州市）如圖1，點O為坐標原點，直線l繞著點A（0,2）旋轉，與經過點C（0,1）的二次函數y=x2+h交于不同的兩點P、Q.

（1）求h的值.

（2）通過操作、觀察算出△POQ面積的最小值.

（3）過點P、C作直線，與x軸交于點B，試問：在直線l的旋轉過程中四邊形AOBQ是否為梯形？若是，請說明理由；若不是，請指明其形狀.試題解析：（1）將點C（0,1）代入二次函數y=x2+h中，得h=1.

（2）操作、觀察可知當直線l∥x軸時，其面積最小.將y=2代入二次函數y=x2+1中，得x=±2.

（3）由特殊到一般.

①當直線l∥x軸時，P（－2,2），Q（2,2），直線PC：y=－x+1交x軸于B（2,0）.又A（0,2），所以四邊形AOBQ為正方形.

②如圖2，當直線l不平行于x軸時，四邊形AOBQ為梯形.

圖2

所以點Q、B的橫坐標相同，即AC∥BQ，且AQ不平行OB，故四邊形AOBQ為梯形

方法點評：數學課程標準中指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學習數學的重要方式.”因此操作實踐型中考題將會從簡單的剪剪拼拼向通過操作或實驗來探究、發現、猜想等過渡，同時也可能利用操作探究得出的結論來解決新問題，這個動向要引起注意和重視.本題就是一個典型的動手操作實踐題，通過動手操作試驗，仔細觀察，冷靜思考，多畫幾個圖形，讀幾遍題目就會找到解決問題的突破口，另外考慮一定要全面，千萬不能多解.

例2（2012年貴州省安順市）如圖3所示，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊長OA、OC分別為12cm、6cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B，且18a+c=0．

（1）求拋物線的解析式.

（2）如果點P由點A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點B移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點C移動．

①移動開始后第t秒時，設△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍.

②當S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．

圖3

②當t=3時，S取得最大值9，這時點P的坐標（3,－12），點Q的坐標為（6，－6）.

若以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形，有如下三種情況：

（i）當點R在BQ的左邊，且在PB下方時，點R的坐標為（3，-18），將（3，-18）代入拋物線的解析式中，滿足解析式，所以存在，點R的坐標就是（3，-18）.

（ii）當點R在BQ的左邊，且在PB上方時，點R的坐標為（3，-6），將（3，-6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點R不滿足條件.

（iii）當點R在BQ的右邊，且在PB上方時，點R的坐標為（9，-6），將（9，-6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點R不滿足條件.

綜上所述，點R的坐標為（3，-18）.

方法點評：本題在已知三點位置時，探索拋物線上的一點與已知的三點組成平行四邊形，解決的方案是先弱化條件，探索平面上的一點與已知的三點組成平行四邊形，再驗證這一點是否在拋物線上，在則留下，不在則舍去，這種解題思想值得同學們細細品味.另外，說拋物線上的點R與P、B、Q三點組成平行四邊形，由于沒有指明頂點的順序，所以要分情況一一說明.

例3（2012年山東省煙臺市）如圖4，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（1，0），C（3，0），D（3，4）.以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C.動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動.同時動點Q從點C出發，沿線段CD向點D運動.點P、Q的運動速度均為每秒1個單位.運動時間為t秒.過點P作PE⊥AB交AC于點E.

（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式.

（2）過點E作EF⊥AD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？

（3）在動點P、Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內（包括邊界）存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值.

試題解析：（1）根據矩形的性質寫出點A的坐標，由頂點A的坐標設該拋物線的頂點式為y=a（x－1）2+4，然后將點C的坐標代入，即可求得系數a的值.

A（1，4）.由題意可設拋物線解析式為y=a（x－1）2+4.

由拋物線過點C（3，0），得0=a（3－1）2+4，解得a=－1.

所以拋物線的解析式為y=－（x－1）2+4，即y=－x2+2x+3.

（2）由于A（1，4），C（3，0），可求得直線AC的解析式為y=－2x+6.

圖4

例4 （2012年福州市）如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD∥BC，交AB于點D，連接PQ.點P、Q分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t≥0）.

圖5

圖6

（1）直接用含t的代數式分別表示：QB=______，PD=______.

（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度.

（3）如圖6，在整個運動過程中，求出線段PQ的中點M所經過的路徑長.

（2）由△APD∽△ACB，即可求得AD與BD的長.由BQ∥DP，可得當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時DP與BD的長.由DP≠BD，可判定?PDBQ不能為菱形.然后設點Q的速度為每秒v個單位長度，要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案.不存在.

由BQ∥DP，得當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，

（3）是命題人設計本題的亮點，也是學生答題的難點.平時我們可利用幾何畫板動態演示功能，不難看出線段PQ的中點M所經過的路徑是一條線段，在考場上學生必須借助平時積累的學習經驗，靈機一動，大膽猜想結論，小心驗證結論.

如圖7，以C為原點，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.

依題意，可知0≤t≤4，當t=0時，起點M1（即點E）的坐標為（3，0）；

當t=4時，終點M2（即點F）的坐標為（1，4）.

設直線EF的解析式為y=kx+b.

直線EF的解析式為y=－2x+6.

圖7

圖8

另解：如圖8，設E是AC的中點，連接ME.

當t=4時，點Q與點B重合，運動停止.

設此時PQ的中點為F，連接EF.

過點M作MN⊥AC，垂足為N，則MN∥BC.

tan∠MEN的值不變，則點M在直線EF上.

過F作FH⊥AC，垂足為H，則EH=2，FH=4.

當t=0時，點M與點E重合；當t=4時，點M與點F重合.

方法點評：試題通過點P的運動，帶來四邊形的運動，把觀察、操作、探究、計算融合在一起，將勾股定理、相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質以及一次函數的綜合應用等初中數學的主干知識融為一體，作為壓軸題.本題的設計新穎，不落俗套，自然流暢，梯度合理，入口寬，出口窄，需要綜合運用核心知識靈活地解決問題.在探究圖形變化過程中，考查了函數思想、方程思想等重要的數學思想方法以及基本軌跡的識別與應用.