圓的概念是怎樣形成的

☉江蘇省無錫市教育研究中心 周建勛

☉江蘇省無錫市濱湖區龐彥福中學數學名師工作室 龐彥福 何 勇

圓的概念是怎樣形成的

☉江蘇省無錫市教育研究中心 周建勛

☉江蘇省無錫市濱湖區龐彥福中學數學名師工作室 龐彥福 何 勇

一、問題的提出

課堂教學中，數學概念往往是教師直接給出或從教科書上直接獲得．隨著探究教學的深入，局部探究的嘗試，對概念的探究越來越引起教師的重視．數學概念是怎樣形成的呢？請看下面課堂教學片段．

二、課堂教學片段實錄

片段1

教師：同學們都能舉出生活中許多圓的模型，圓究竟有什么特點？你真正了解圓的概念嗎？請同桌間相互合作，利用我們準備好的棉線、皮筋和紙、筆，分別用棉線和皮筋畫圓，然后交流你的作法和體會．

學生1：把棉線的一端固定，將棉線拉緊，另一端在紙上繞一周所畫出的圖形就是圓（如圖1）．

學生2：用棉線能畫成圓，用皮筋畫不成圓．

教師：很好，為什么用皮筋畫不成圓？學生2：皮筋有彈性，盡管一端能夠固定，但不能保證“定長”．教師：學生2歸納得準確，很接近圓的定義了．同學們能用自己的語言描述出圓的定義嗎？

學生3：一條線段繞著它的一個端點在平面內旋轉1周時，另一個端點運動所形成的圖形就叫做圓．

教師：很好，我們再來感受一下學生3給出的圓的定義（播放線段繞其一端旋轉的動畫幻燈片）．

教師：通過畫圓的過程，同學們還有什么收獲？

學生4：用棉線畫圓使我們明白了圓的定義，但不方便，還是用圓規畫圓方便．

（眾生笑）

學生5：我認為畫一個圓需要兩個條件，一是圓心，二是半徑；圓心確定圓的位置，半徑決定圓的大小．

教師：學生5總結的很好，很精確！學生2說的既樸實又富有哲理性，同學們通過自己畫圓明白并理解了圓的概念，進而歸納出了圓的定義．數學學習就是這樣，只有通過動手操作、動腦思考，體會才更深刻，歸納才更準確．因為畫圓用圓規方便，所以同學們以后就用圓規來畫圓．

圖1

片段2

教師：（播放幻燈片）如圖2，在平面上找出與點O的距離為2cm的點．

學生甲：不止一個．

教師：平面上到O點距離為2cm的點有多少個？這些點形成了怎樣的圖形？

學生乙：有無數個，它們圍成了一個圓．

學生丙：這些點都在以O為圓心，2cm為半徑的圓上．

教師：很好！如果把無數個點看作集合，我們還可以給圓下一個新的定義……

教師：（播放幻燈片）如圖3、4、5，怎樣來描述這個定義呢？

圖2

圖3

圖4

圖5

學生丁：圓是到定點的距離等于定長的點的集合.

教師：如果這些點是在空間里呢？

學生戊：那就是球．

學生丁：應該說成：平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合叫做圓．

教師：很好，學生丁給出了圓的第二種定義．請同學們認真想一想，比較圓的這兩種定義是怎樣形成的？

……

三、圓的概念的形成

數學概念是客觀世界中數量關系和空間形式的本質屬性在人的大腦中的反映，是學生數學學習的邏輯起點，是數學知識系統及學生進行數學思維的核心，是數學思想與方法的載體，是數學的基礎知識，在數學學習過程中具有十分重要的意義．從課改以來，從課標的修訂，從教育教學實踐的過程中，可以看出數學概念教學不容忽視．我們通過兩個教學片段再來回顧一下圓的兩種定義，定義一：一條線段繞著它的一個端點在平面內旋轉1周時，另一個端點運動所形成的圖形叫做圓．從畫圖、理解圖到得出圓的定義．該定義是在學生動手操作畫圖的過程中抽象出圓的定義，是從圓的產生來刻畫圓，屬于圓的產生定義，學生容易理解，容易記憶．定義二：圓是平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合，該定義是在具體問題情境中，讓學生充分展開想象，經歷“若干個點→無數個點→點的集合→圓的集合定義”的過程，是從圓的本質屬性來刻畫圓，屬于圓的內涵定義，判斷點是否在圓上就是該定義的具體運用．無論是圓的產生定義還是圓的內涵定義，都是學生經歷操作、觀察、分析、類比、猜想、歸納、抽象、概括、推廣等思維活動探究而得出的新的數學概念．更重要的是讓他們從中體驗數學家概括數學概念的心路歷程，領悟數學家用數學的觀點看待和認識世界的思想真諦，學會用概念思維，進而發展智力和培養能力．

李邦河院士說：“數學根本是玩概念的，不是玩技巧的．技巧不足道也．”圓的概念中，無論是哪種定義，有兩點必須弄清楚；（1）“平面內”這個要求是不可缺少的；（2）都表明“圓”指的是“圓周”，不包括被它圍起來的平面，以后研究圓的基本性質，必須冠以“在同圓或等圓中”，就體現了圓的定義的本質．

從圓概念的兩種定義的探究過程，我們不難發現圓的概念是建構的、生成的、合理的．

1.圓的概念是建構的

從教科書和《義務教育數學課程標準》（2011年版）我們可以看出，小學和初中對“圓”的學習都有具體要求．小學是在4～6年級，即第二學段，要求是：（1）通過觀察、操作，認識圓；（2）會用圓規畫圓．小學階段對圓的認識是通過觀察和簡單操作來認識的，畫圓是用圓規畫的，至于為什么恐怕學生就不太清楚了．到了初中，對“圓”的學習有了進一步的具體的明確的要求，即（1）理解圓的概念；（2）探索并了解點與圓的位置關系．就第一個要求而言，怎樣“理解”呢？不少數學老師這樣要求學生：對于數學概念、法則、結論一定要記住，要熟爛于心．難道學生記住了，爛熟于心了就是“理解”了嗎？我們知道理解是記憶的基礎，無論是數學概念，還是數學法則、定理、結論，只有明白其來龍去脈，弄清楚知識發生、發展的過程，才會真正明白和理解．對于圓的概念，如果說小學階段學生對圓的了解是“感性”認識的話，那么初中階段就上升到了“理性”的層面．因為聽過的往往會忘記，看過的可能記住，做過的印象才深刻，才能學會．從生活中的圓為主過渡到數學中的圓為主，說明研究的對象數學化程度提高了；從圓的部分特征與圓的部分性質過渡到圓的所有特征和圓的所有性質，顯示出研究的內容豐富了；從宏觀的定性描述圓的特征與性質過渡到微觀的定量描述圓的特征與性質，預示著研究的思想方法變化了；從借助生活中的圓進行直觀感知過渡到借助數學中的圓進行理性思維，說明研究的思維要求提高了；從文字表示為主過渡到文字表示、圖形表示與符號表示相結合，說明研究結果的數學表示豐富了．筆者仔細查閱2001年版和2011年版的《義務教育數學課程標準》，兩個版本的課標對圓的概念的教學要求沒有變化，說明了教學中對圓的概念的要求是穩定的，知識點的形成過程與銜接是成熟的．

《課程標準》指出：數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法．片段1既是師生共同操作、畫圓、識圖、觀察、思考、理解等活動的過程，也是圓的概念建構形成的過程．在這一過程中，圓的定義不是強行塞給學生，而是學生通過動手操作，經歷觀察、實驗、猜測、驗證等活動過程，由感知上升到理性，逐步建構出圓的定義．定義的得出是在已有知識基礎之上、是在學生動手做的基礎之上自然得出，顯得水到渠成．

2.圓的概念是生成的

教學既是展示、演繹教師預設的過程，又是一個不斷生成的過程．數學概念的形成其實也是一個生成的過程．定義一中“一條線段繞著它的一個端點在平面內旋轉1周時，另一個端點運動所形成的圖形就生成了圓”．從概念產生的角度看，在平面內，線段的一個端點固定另一個端點運動所留下的“痕跡”就產生了“圓”．定義二“在平面內，到一個定點的距離等于定長的點的集合”盡管看不見摸不著，但通過大腦的思維、想象，這“無數個點的集合”就生成了“圓”．數學概念的框架就像建筑行業的“腳手架”，圓的定義的形成過程就是依據“最近發展區”的原理建立概念學習的“腳手架”，使概念的產生具有牢固的基礎．

學生的學習是一個主動建構的過程，是以自己原有的認知結構為基礎對新的信息進行梳理、加工、編碼、理解，形成建構過程．因此，教學活動不能無視學生原有的認知結構，另起爐灶，而應該緊緊依托學生的已有的知識與基礎，并將其作為新知識的建構起點與生長點，從而完成自主建構．

《課程標準》指出：“數學知識的教學，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性，體會對于某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解．”圓的概念的形成，可以理解成知識結構的“生長”，同時定義二又是定義一的延伸．理解、剖析圓的概念，是進一步學習、研究圓的基本性質的基礎．

3.圓的概念是合理的

數學來源于生活，概念也是從生活中抽象出來的．圓的概念通過學生的操作、理解到形成定義，顯得水到渠成，合情入理．

美國數學家杜賓斯基認為：學生學習數學概念必須要進行心理建構，這一建構過程要經歷四個階段：（1）活動階段，理解一個概念需要活動或操作；（2）過程階段，把操作活動綜合為一個相關過程；（3）對象階段，此時可以把概念當作一個獨立的對象來處理；（4）圖式階段，此時的概念以一種綜合的心理圖式存在于學習者的腦海之中，在學生的知識體系中占有特定的位置，這一心理圖式含有具體的實例、抽象的過程、完整的定義乃至和其他知識點的區別與聯系．

理解數學概念的途徑一般有三種：（1）用實例來印證；（2）用操作來感悟；（3）用作業來深化．圓的概念的引入、形成、理解恰好體現了從以上三個方面進行建構與運用，當然“用作業進行深化”是在概念教學活動之后的一個環節，這里不再呈現．在圓的定義的建構過程中，讓學生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應用．恰當地讓學生經歷這樣的過程，對于他們理解數學知識與方法、形成良好的數學思維習慣和應用意識，對于提高發現問題和提出問題的能力、分析問題及解決問題的能力有著重要的作用．

1.龐彥福，王韶榮，劉杰．“圓”的教學設計片斷［J］.中學數學教學參考（中旬），2012（1—2）.

2.中華人民共和國教育部制定．義務教育數學課程標準（2011年稿）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

3.李邦河．數的概念的發展［J］．數學通報，2009，8.